【12月学习进度3/31—计算机图形学期末准备01】拉格朗日插值 + 三次Hermite插值

Hermite多项式

拉格朗日插值

拉格朗日插值是当 j=0j=0j=0 时，即只给出函数值的Hermite多项式插值问题。

参考通俗易懂讲解视频

拉格朗日插值多项式：

其中 li(x)l_i(x)li(x) 是插值基函数，它类似开关。
因为当且仅当 x=xix = x_ix=xi 时，li(xi)l_i(x_i)li(xi)为1，否则为0；
相当于x=xix = x_ix=xi时，开关 iii 打开，其余开关均闭合，f(xi)=yif(x_i) = y_if(xi)=yi

这就保证了给定 n+1n+1n+1 个点，拉格朗日插值法可以构造出 nnn 阶多项式，恰好穿过这 n+1n+1n+1 个点
f(xi)=yif(x_i)=y_if(xi)=yi
(i=0,1,2,...,n)(i = 0,1,2,...,n)(i=0,1,2,...,n)

Q：n+1个点为什么构造n阶插值多项式？
n阶多项式： f(x)=a0+a1∗x+a2∗x2+a3∗x3+...+an∗xnf(x) = a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + a_3*x^3 + ... +a_n*x^nf(x)=a0+a1∗x+a2∗x2+a3∗x3+...+an∗xn
n阶多项式有 n+1n+1n+1 个系数（a0,a1,...ana_0,a_1,...a_na0,a1,...an）
n+1个点 <==> n+1个条件（方程）<=> 可解n+1个变量 <=> n阶多项式可确定

对于一组给定的点，拉格朗日插值法总能给出一条最低次数函数穿过这些点

但当一组连续均匀的点中出现一个“叛徒”（异常点），则拉格朗日插值就会想办法通过这个点，则就会出现龙格现象(Runge Phenomenon)。

【龙格现象】参考视频演示
利用多项式对某一函数进行逼近时，多项式次数越高，插值结果反而越偏离原函数的现象。（次数比较高时，产生剧烈的振荡）

例题

已知函数 f(x)f(x)f(x)，f(144)=12,f(169)=13,f(225)=15f(144)=12 , f(169)=13 , f(225)=15f(144)=12,f(169)=13,f(225)=15.
求 f(x)f(x)f(x) 的二次拉格朗日插值多项式.

解：

题目给定离散点：(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)(x_0,y_0) , (x_1,y_1) , (x_2,y_2)(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)
其中 x0=144,y0=12,x1=169,y1=13,x2=225,y2=15x_0 = 144,y_0=12 , x_1=169,y_1=13,x_2= 225,y_2=15x0=144,y0=12,x1=169,y1=13,x2=225,y2=15 ;
构造插值基函数 li(x)l_i(x)li(x)
l0(x)=(x−x1)(x−x2)/(x0−x1)(x0−x2)l_0(x) = (x-x_1)(x-x_2)/(x_0-x_1)(x_0-x_2)l0(x)=(x−x1)(x−x2)/(x0−x1)(x0−x2)
l1(x)=(x−x0)(x−x2)/(x1−x0)(x1−x2)l_1(x) = (x-x_0)(x-x_2)/(x_1-x_0)(x_1-x_2)l1(x)=(x−x0)(x−x2)/(x1−x0)(x1−x2)
l2(x)=(x−x0)(x−x1)/(x2−x0)(x2−x1)l_2(x) = (x-x_0)(x-x_1)/(x_2-x_0)(x_2-x_1)l2(x)=(x−x0)(x−x1)/(x2−x0)(x2−x1)
二次拉格朗日插值多项式 L(x)L(x)L(x)
L(x)=y0∗l0(x)+y1∗l1(x)+y2∗l2(x)L(x) = y_0*l_0(x) + y_1*l_1(x) + y_2*l_2(x)L(x)=y0∗l0(x)+y1∗l1(x)+y2∗l2(x)
（代入上述值即可求出）

三次Hermite插值

参考博文
（以下图片来自于参考博文）

三次Hermite插值要求在离散点处：

插值多项式的值 P(x)=f(x)P(x)=f(x)P(x)=f(x)
插值多项式的导数值 P′(x)=f′(x)P'(x) = f'(x)P′(x)=f′(x)

借鉴拉格朗日插值法构造插值基函数的思想

两点三次Hermite插值推导过程：
参考讲解视频：【《数值分析》| 华科 | 研究生基础课-哔哩哔哩】

【列出插值需满足的条件】

【构造基函数 α0(x),α1(x),β0(x),β1(x)α_0(x) , α_1(x) , β_0(x) , β_1(x)α0(x),α1(x),β0(x),β1(x)】

以 α0(x)α_0(x)α0(x) 为例：

需满足条件：α0(x0)=1,α0(x1)=0,α0′(x0)=0,α0′(x1)=0α_0(x_0) = 1 , α_0(x_1) = 0 , α_0'(x_0)=0,α_0'(x_1) = 0α0(x0)=1,α0(x1)=0,α0′(x0)=0,α0′(x1)=0
则 x1x_1x1 是 α0(x)α_0(x)α0(x) 的二重零点 → α0(x)α_0(x)α0(x) 有一因式为 (x−x1)2(x-x_1)^2(x−x1)2

借鉴拉格朗日插值基函数 li(x)=(x−xj)/(xi−xj)l_i(x) = (x-x_j)/(x_i-x_j)li(x)=(x−xj)/(xi−xj) 在 xix_ixi 取1 ；
使用 li(x)=(x−xj)2/(xi−xj)2l_i(x) = (x-x_j)^2/(x_i-x_j)^2li(x)=(x−xj)2/(xi−xj)2

所以 α0(x)=(x−x1)2/(x0−x1)2∗(a0x+b0)α_0(x) = (x-x_1)^2/(x_0-x_1)^2*(a_0x+b_0)α0(x)=(x−x1)2/(x0−x1)2∗(a0x+b0)
(最后乘上一次式 a0x+b0a_0x+b_0a0x+b0 是为了构造 α0(x)α_0(x)α0(x) 为三次式）

同理构造三次式 β0(x),β1(x)β_0(x) , β_1(x)β0(x),β1(x) 乘以 cic_ici 零次项系数

【求解待定系数 ai,bi,cia_i , b_i,c_iai,bi,ci】

将上述条件代入到构造的插值基函数式子中，解出待定系数。

三次Hermite插值多项式：