信号与噪声经过匹配滤波器后能量

假设信号为s(t)s(t)s(t)，信号的匹配滤波器为ks(−t)ks(-t)ks(−t)，匹配滤波器的在t=0t=0t=0抽样时刻的输出为
y(t)=∫−T/2T/2ks2(t)dt=kEby(t) = \int_{-T/2}^{T/2} ks^2(t) dt = kE_b y(t)=∫−T/2T/2ks2(t)dt=kEb
假设噪声为n(t)n(t)n(t)，噪声的匹配滤波器输出：
yn(t)=∫−T/2T/2ks(t)⋅n(t)dty_n(t) = \int_{-T/2}^{T/2} ks(t) \cdot n(t) dt yn(t)=∫−T/2T/2ks(t)⋅n(t)dt
因为n(t)n(t)n(t)和s(t)s(t)s(t)相互独立，yn(t)y_n(t)yn(t)的均值为：
E[yn(t)]=∫−T/2T/2E[ks(t)]⋅E[n(t)]dt=0E[y_n(t)] = \int_{-T/2}^{T/2} E[ks(t)] \cdot E[n(t)] dt=0 E[yn(t)]=∫−T/2T/2E[ks(t)]⋅E[n(t)]dt=0
其中E[n(t)]=0E[n(t)]=0E[n(t)]=0。
E[yn2(t)]=∫−T/2T/2E[k2s2(t)]⋅E[n2(t)]dt=kEb⋅n0⋅fs/2E[y_n^2(t)] = \int_{-T/2}^{T/2} E[k^2s^2(t)] \cdot E[n^2(t)] dt=kEb \cdot n_0 \cdot f_s/2 E[yn2(t)]=∫−T/2T/2E[k2s2(t)]⋅E[n2(t)]dt=kEb⋅n0⋅fs/2
其中n0n_0n0为功率谱密度。

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