数据结构 - 完全二叉树

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完全二叉树是一种效率很高的数据结构，堆就是一种完全二叉树，所以效率极高。像十分常用的排序算法、Dijkstra算法、Prim算法等都要用堆才能优化；几乎每次都要考到的二叉排序树的效率也要借助平衡性来提高，而平衡性基于完全二叉树。

完全二叉树定义　完全二叉树（Complete Binary Tree）

若设二叉树的高度为h，除第h层外，其它各层（1～h-1）的结点数都达到最大个数，且第h层所有的节点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K，有N个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。

若一棵二叉树至多只有最下面两层的结点的度数可以小于2，并且最下层的结点都集中在该层最左边的若干位置上，则此二叉树为完全二叉树。

完全二叉树特点

叶子结点只可能在最下面的两层上出现，对任意结点，若其右分支下的子孙最大层次为L，则其左分支下的子孙的最大层次必为L或L+1；

出于简便起见，完全二叉树通常采用数组而不是链表存储,其存储结构如下:

var tree : array[1..n] of longint; {n:integer; n>=1}

对于tree，有如下特点：

（1）若i为奇数且i>1，那么tree[i]的左兄弟为tree[i-1]；

（2）若i为偶数且i<n，那么tree[i]的右兄弟为tree[i+1]；

（3）若i>1，tree[i]的双亲为tree[i div 2]；

（4）若2*i<=n，那么tree[i]的左孩子为tree[2*i]；若2*i+1<=n，那么tree[i]的右孩子为tree[2*i+1]；

（5）若i>n/2，那么tree[i]为叶子结点（对应于（3））；

（6）若i<(n-1)/2，那么tree必有两个孩子（对应于（4））；

（7）满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树；

（8）完全二叉树第i层至多有2^i-1个节点，共i层的完全二叉树最多有2ⁱ-1个节点。

完全二叉树叶子结点数的算法

可以根据公式进行推导，假设n₀是度为0的结点总数（即叶子结点数），n₁是度为1的结点总数，n₂是度为2的结点总数，由二叉树的性质可知：n₀=n₂+1，而n=n₀+n₁+n₂（其中n为完全二叉树的结点总数），由上述公式把n₂消去得：n=2n₀+n₁-1，由于完全二叉树中度为1的结点数只有两种可能0或1，由此得到n₀=(n+1)/2或n₀=n/2，就可根据完全二叉树的结点总数计算出叶子结点数。

完全二叉树的性质

具有n个结点的完全二叉树的深度为floor(log₂n)+1或ceil(log₂(n+1))。
证明：设所求完全二叉树的深度为k。

由完全二叉树定义可得：
深度为k得完全二叉树的前k-1层是深度为k-1的满二叉树，一共有2^k-1-1个结点。
由于完全二叉树深度为k，故第k层上还有若干个结点，因此该完全二叉树的结点个数：n>2^k-1-1。
由二叉树的性质可知：n≤2^k-1，即：2^k-1-1<n≤2^k-1

由此可推出：2^k-1≤n<2^k，取对数后有：k-1≤lgn<k

由于k-1和k是相邻的两个整数，故有k-1=floor(log₂n)，由此即得：k=floor(log₂n)+1。

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