【计算理论】上下文无关语法 ( 语法组成 | 规则 | 语法 | 语法示例 | 约定的简写形式

文章目录

I . 语法组成
II . 规则
III . 语法
IV . 语法示例
V . 语法简写形式
VI . 语法分析树
VII . 代数表达式语法

I . 语法组成

上下文无关语法组成 : 由 {V,Σ,R,S}\{ \quad V , \Sigma , R , S \quad \}{V,Σ,R,S} 四部分组成 ;

变量集 VVV : 有限的变量集合 ;

终端字符集 Σ\SigmaΣ : 有限的终端字符组成的集合 ; 相当于常量的含义 , 与变量相对 ;

规则集 RRR : 有限的规则组成的集合 , 规则规定如何进行代换操作 , 规定变量 , 终端字符 , 字符串变量等 ;

开始变量 SSS : 该变量作为开始变量 ;

II . 规则

规则简介 :

① 已知条件 : 假设 u,v,wu, v , wu,v,w 是 变量 ( 变元 ) 或 终端字符集 ( 常量 / 常元 ) ;

② 规则描述 : 规则是一个箭头 , A→wA \to wA→w , AAA 是变元 , www 是变元和常元组成的终端字符 ;

③ 规则用法 : 在字符串中 , 根据 A→wA \to wA→w 规则进行替换 , 只需要将 AAA 变元替换成 www 字符串即可 ;

④ 规则示例 : uAvuAvuAv 中使用上述规则进行替换 , 将 AAA 替换成 www , 替换结果是得到新字符串 uwvuwvuwv ;

uAv⇒uwvuAv \Rightarrow uwvuAv⇒uwv

III . 语法

1 . 有限次规则替换 : u⇒∗vu \Rightarrow *vu⇒∗v 表示有限多次替换后 , 每一步替换的临时结果序列组成集合 {u1,u2,⋯,uk}\{u_1 , u_2 , \cdots , u_k\}{u1,u2,⋯,uk} , 最终结果是终端字符 ;

2 . 有限次规则替换步骤 :

uuu 根据某规则进行替换得到 u1u_1u1 ;
u1u_1u1 根据某规则进行替换得到 u2u_2u2 ;
⋮\vdots⋮
uku_kuk 根据某规则进行替换得到 vvv ;

3 . 最终规则替换结果要求 : vvv 中不包含变元 , 全部由终端字符 ( 常元 ) 组成的字符串 ;

vvv 是由 uuu 生成的 ;

4 . 语法定义 : 从开始变元 , 使用规则逐步替换 , 替换到最后 , 将所有终端字符组成字符串放在一个集合中 , 称为语法生成的语言 ;

L(G)={w∈Σ∗:S⇒∗w}L(G) = \{ w \in \Sigma^* : S \Rightarrow *w \}L(G)={w∈Σ∗:S⇒∗w}

IV . 语法示例

1 . 语法组成部分 : G3=({S},{a,b},R,S)G3 =( \; \{ S \}, \{ a, b \}, R , S \; )G3=({S},{a,b},R,S) 其组成如下 :

变量集 {S}\{ S \}{S} ;
终端字符集 {a,b}\{ a, b \}{a,b} ;
规则 RRR ;
开始变量 SSS ;

2 . 规则 RRR 描述 :

S→aSb∣SS∣εS \to aSb \; | \; SS \; | \; \varepsilonS→aSb∣SS∣ε

SSS 变量可以使用 aSbaSbaSb 字符串替换 ;
SSS 变量可以使用 SSSSSS 字符串替换 ;
SSS 变量可以使用 ε\varepsilonε 字符串替换 ;

3 . 规则替换过程 :

① SSS 是开始变量 , 可以使用 aSbaSbaSb 替换 :

S⇒aSbS \Rightarrow aSbS⇒aSb

② 使用 aSbaSbaSb 替换 SSS :

S⇒aSb⇒aaSbbS \Rightarrow aSb \Rightarrow aaSbbS⇒aSb⇒aaSbb

③ 使用 SSSSSS 替换 SSS :

S⇒aSb⇒aaSbb⇒aaSSbbS \Rightarrow aSb \Rightarrow aaSbb \Rightarrow aaSSbbS⇒aSb⇒aaSbb⇒aaSSbb

④ 使用 aSbaSbaSb 替换第一个 SSS :

S⇒aSb⇒aaSbb⇒aaSSbb⇒aaaSbSbbS \Rightarrow aSb \Rightarrow aaSbb \Rightarrow aaSSbb \Rightarrow aaaSbSbbS⇒aSb⇒aaSbb⇒aaSSbb⇒aaaSbSbb

⑤ 使用 ε\varepsilonε 替换第一个 SSS :

S⇒aSb⇒aaSbb⇒aaSSbb⇒aaaSbSbb⇒aaabSbbS \Rightarrow aSb \Rightarrow aaSbb \Rightarrow aaSSbb \Rightarrow aaaSbSbb \Rightarrow aaabSbbS⇒aSb⇒aaSbb⇒aaSSbb⇒aaaSbSbb⇒aaabSbb

⑥ 使用 aSbaSbaSb 替换 SSS :

S⇒aSb⇒aaSbb⇒aaSSbb⇒aaaSbSbb⇒aaabSbb⇒aaabaSbbbS \Rightarrow aSb \Rightarrow aaSbb \Rightarrow aaSSbb \Rightarrow aaaSbSbb \Rightarrow aaabSbb \Rightarrow aaabaSbbbS⇒aSb⇒aaSbb⇒aaSSbb⇒aaaSbSbb⇒aaabSbb⇒aaabaSbbb

⑦ 使用 ε\varepsilonε 替换 SSS :

S⇒aSb⇒aaSbb⇒aaSSbb⇒aaaSbSbb⇒aaabSbb⇒aaabaSbbb⇒aaababbbS \Rightarrow aSb \Rightarrow aaSbb \Rightarrow aaSSbb \Rightarrow aaaSbSbb \Rightarrow aaabSbb \Rightarrow aaabaSbbb \Rightarrow aaababbbS⇒aSb⇒aaSbb⇒aaSSbb⇒aaaSbSbb⇒aaabSbb⇒aaabaSbbb⇒aaababbb

最终得到 aaababbbaaababbbaaababbb 字符串 , 该字符串全部由终端字符构成 , 是从 SSS 开始状态出发 , 按照 RRR 规则替换得来的 ;

称该字符串由语法 G3G3G3 生成的 ;

V . 语法简写形式

语法可以使用下面的形式简单表示 , 没有必要使用繁琐的形式 , 可以使用约定的简写形式 ;

约定写法 :

A→0A1A \to 0A1A→0A1
A→BA \to BA→B
B→lB \to lB→l

开始状态约定 : 左上方的变元 AAA 约定是开始变元 ;

变元约定 : 大写字母 A,BA,BA,B 约定为变元 ;

终端字符约定 : 小写字母约定为终端字符 ;

VI . 语法分析树

语法分析树 : 字符串生成的过程 , 可以写成语法分析树 ;

将上述简写的约定语法描述 , 生成终端字符构成的字符串 ;

1 . 开始状态 : AAA , 使用 0A10A10A1 替换 AAA ;

A⇒0A1A \Rightarrow 0A1A⇒0A1

当前语法分析树 :

2 . 使用 0A10A10A1 替换 AAA ;

A⇒0A1⇒00A11A \Rightarrow 0A1 \Rightarrow 00A11A⇒0A1⇒00A11

当前语法分析树 :

3 . 使用 0A10A10A1 替换 AAA ;

A⇒0A1⇒00A11⇒000A111A \Rightarrow 0A1 \Rightarrow 00A11 \Rightarrow 000A111A⇒0A1⇒00A11⇒000A111

当前语法分析树 :

4 . 使用 BBB 替换 AAA ;

A⇒0A1⇒00A11⇒000A111⇒000B111A \Rightarrow 0A1 \Rightarrow 00A11 \Rightarrow 000A111 \Rightarrow 000B111A⇒0A1⇒00A11⇒000A111⇒000B111

当前语法分析树 :

5 . 使用 lll 替换 BBB ;

A⇒0A1⇒00A11⇒000A111⇒000B111⇒000l111A \Rightarrow 0A1 \Rightarrow 00A11 \Rightarrow 000A111 \Rightarrow 000B111 \Rightarrow 000l111A⇒0A1⇒00A11⇒000A111⇒000B111⇒000l111

当前语法分析树 :

6 . 最终得到的字符串为 000l111000l111000l111 ;

VII . 代数表达式语法

1 . 代数表达式语法 : G4=(V,A,R,Expression)G4 = ( V , A , R , Expression )G4=(V,A,R,Expression) 是代数表达式语法 ;

① 终端字符集 : A={a,+,×,()}A = \{ a , + , \times , () \}A={a,+,×,()} ;

② 变量集 : V={Expression,Term,Factor}V = \{ Expression , Term , Factor \}V={Expression,Term,Factor} ;

ExpressionExpressionExpression 是表达式 ;
TermTermTerm 是项 ;
FactorFactorFactor 是因子 ;

2 . ExpressionExpressionExpression 表达式规则 :

Expression→Expression+Term∣TermExpression \to Expression + Term | TermExpression→Expression+Term∣Term

ExpressionExpressionExpression ( 表达式 ) 可以通过 Expression+Term∣TermExpression + Term | TermExpression+Term∣Term 代替 ;

3 . TermTermTerm 项规则 :

Term→Term×Factor∣FactorTerm \to Term \times Factor | FactorTerm→Term×Factor∣Factor

TermTermTerm 项可以通过 Term×Factor∣FactorTerm \times Factor | FactorTerm×Factor∣Factor 代替 ;

4 . FactorFactorFactor 因子规则 :

Factor→Expression∣aFactor \to Expression | aFactor→Expression∣a

FactorFactorFactor 因子可以通过 Expression∣aExpression | aExpression∣a 代替 ;