一、通用图灵机和停机问题

利用图灵的结论 , 证明有哪些计算问题是找不到算法进行判定的 ; 如停机问题 , 就找不到算法进行判定 ;

停机问题 : 设计一个程序 , 帮助判定 “给定一个程序 , 该程序是否会停机” ;

① 如果知道该程序不会停机 , 就强制停止该程序 ;

② 如果知道该程序会停机 , 就耐心等待该程序执行完毕 ;

上述 “能判定程序是否会停机” 的程序 , 是不存在的 ;

二、可判定性与可计算性

可判定性与可计算性

① 可判定性 ( Decidability ) : 计算模型是图灵机中的判定机 ;

② 可计算性 ( Turing-recognizable 图灵机可接受的 ) : 计算模型是图灵机 ;

可计算性包含可判定性 ;

可计算性与可判定性之间的相互关系 :

补集可计算 : 如果一个语言的补集 ( Complement ) 是可计算的 ( Turing-recognizable ) , 那么称该语言是补集可计算的 ( co-Turing-recognizable ) ;

判定 = 可计算 + 补集可计算 : 如果一个语言是可判定的 ( Decidable ) , 那么这个语言是可计算的 ( Turing-recognizable ) , 同时这个语言又是补集是可计算的 ( co-Turing-recognizable ) ;

可计算 : Turing-recognizable

补集可计算 : co-Turing-recognizable

之前提到过通用图灵机语言 ATM\rm A_{TM}ATM 是可计算的 , 对应的计算模型是图灵机 , 但 ATM\rm A_{TM}ATM 是不可判定的 ;

可判定 = 可计算 + 补集可计算

通用图灵机语言 ATM\rm A_{TM}ATM 是不可判定的 , 可计算的 , 其补集肯定是不可计算的 ;

三、语言与算法模型

语言与算法模型 :

① 正则语言 ( 自动机 ) : Lr=L(a∗b∗)\rm L_r = L(a^*b^*)Lr=L(a∗b∗) , 该语言是正则表达式语言 ; r\rm rr 下标含义是 regular 正则 ;

② 上下文无关语言 ( 下推自动机 ) : LCFL={anbn:n≥0}\rm L_{CFL} = \{ a^nb^n : n \geq 0 \}LCFL={anbn:n≥0} , 该语言不是正则表达式语言 , 是上下文无关语言 ; 下标 CFL\rm CFLCFL 含义是 Context-Free Grammer , 上下文无关语法 ;

③ 可判定语言 ( 判定机 ) : Ld={anbncn:n≥0}\rm L_{d} = \{ a^nb^nc^n : n \geq 0 \}Ld={anbncn:n≥0} , 该语言不是上下文无关语言 , 是可判定语言 ; 下标 d\rm dd 含义是 Decidability 可判定 ;

④ 可计算语言 ( 图灵机 ) : LTr=ATM\rm L_{Tr} = A_{TM}LTr=ATM , 该语言是可计算的 , 不是图灵可判定的 ; 下标 Tr\rm TrTr 含义是 Turing-recognizable ( 图灵机可识别 ) 即可计算的 ;

⑤ 不可计算语言 ( 没有对应算法模型 ) : LnTr=A‾TM\rm L_{nTr} = \overline{A}_{TM}LnTr=ATM , 图灵机不识别语言 , 不可计算语言 ;

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【计算理论】可判定性 ( 通用图灵机和停机问题 | 可判定性与可计算性 | 语言与算法模型 )

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