【 MATLAB 】序列相关与序列卷积之间的关系

关于序列卷积，之前写了3篇博文：

【 MATLAB 】conv 函数介绍（卷积和多项式乘法）

这篇博文介绍的是MATLAB本身自带的函数，但这个函数conv有个不如意的地方，就是求过卷积之后我们不知道各个卷积值的位置。

然后我们后面扩展了下这个函数，命名为conv_m，这个函数在这个博文的最后给出。

【 MATLAB 】两个序列的卷积和运算的MATLAB实现（2）

还有一篇博文：

【 MATLAB 】两个序列的卷积和运算的MATLAB实现（1）

这篇博文只是给出了一个实例，程序里面隐藏了求卷积值位置的脚本程序。

序列卷积和公式：

$y(n) = \sum_{k=-\infty }^{+ \infty }x(k)h(n-k)$

而序列的互相关公式为：

$r_{x,y}(l)= \sum_{n=-\infty }^{+ \infty }x(n)y(n-l)$

如果x等于y，那么就得到自相关函数的公式：

$r_{x,x}(l)= \sum_{n=-\infty }^{+ \infty }x(n)x(n-l)$

比较卷积和公式和互相关函数的公式，我们可以发现二者之间的关系：

$r_{x,y}(l)= x(n)*y(-n)$

有了这个关系，我们就可以使用卷积的函数来求两个序列的互相关了。

首先给出扩展后的卷积函数conv_m的脚本：

function [y,ny] = conv_m(x,nx,h,nh)
% Modified convolution routine for signal processing
%___________________________________________________
% [y,ny] = conv_m(x,nx,h,nh)
% [y,ny] = convolution result
% [x,nx] = first signal
% [h,nh] = second signal
%
nyb = nx(1) + nh(1);
nye = nx(length(x)) + nh(length(h));
ny = nyb:nye;
y = conv(x,h);

两个信号相加的函数sigadd：

function [y,n] = sigadd(x1,n1,x2,n2)
% implements y(n) = x1(n) + x2(n)
% [y,n] = sigadd(x1,n1,x2,n2)
%____________________________________
% y = sum sequence over n, which includes n1 and n2
% x1 = first sequence over n1
% x2 = second sequence over n2( n2 can be different from n1)
%
n = min( min(n1), min(n2) ):max( max(n1), max(n2) ); %duration of y(n)
y1 = zeros(1,length(n)); y2 = y1; %initialization
y1( find( ( n >= min(n1) )&( n <= max(n1) ) == 1  )  ) = x1; %x1 with duration of y1
y2( find( ( n >= min(n2) )&( n <= max(n2) ) == 1  )  ) = x2; %x2 with duration of y2
y = y1 + y2;

信号移位函数：

function [y,n] = sigshift(x,m,k)
%implements y(n) = x(n - k)
%_________________________
%[y,n] = sigshift(x,m,k)
%
n = m+k;
y = x;

预备工作做好了，下面给出一个例子：

设：

$x(n)=[3, 11, 7, \underset{\Lambda }{0},-1,4,2]$

是原序列，设 y(n) 是原 x(n) 受到噪声污染并移位了的序列

y(n) = x(n-2) + w(n)

这里 w(n) 是均值为0，方差为1的高斯随机序列。计算y(n)和x(n)之间的互相关。

题解：

clc
clear
close all% noise sequence 1
nx = -3:3;
x = [3,11,7,0,-1,4,2];
%
%  implements y(n) = x(n - k)
%  _________________________
%  [y,n] = sigshift(x,m,k)
[y1,n1]= sigshift(x,nx,2);w = randn(1,length(y1));
nw = n1;[y,ny] = sigadd(y1,n1,w,nw);[x,nx]=sigfold(x,nx);[rxy,nrxy]=conv_m(x,nx,y,ny);subplot(2,1,1);
stem(nrxy,rxy);
title('noise sequence 1');% noise sequence 2
nx = -3:3;
x = [3,11,7,0,-1,4,2];
%
%  implements y(n) = x(n - k)
%  _________________________
%  [y,n] = sigshift(x,m,k)
[y1,n1]= sigshift(x,nx,2);w = randn(1,length(y1));
nw = n1;[y,ny] = sigadd(y1,n1,w,nw);[x,nx]=sigfold(x,nx);[rxy,nrxy]=conv_m(x,nx,y,ny);subplot(2,1,2);
stem(nrxy,rxy);
title('noise sequence 2');

噪声是随机的，所以把互相关的计算执行了两次，可见，两幅图的细节有一点点不同，但互相关的峰值都在l = 2上。

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