一、排列组合示例 1 ( 组合 | 乘法法则 | 加法法则 )

基本计数公式就是加法法则 , 乘法法则 ;

从 111 ~ 300300300 中任意取出 333 个数 , 使得这三个数的和能被 333 整除 , 有多少种选取方法 ?

使用分类 ( 乘法法则 ) , 分布 ( 加法法则 ) , 排列组合的方法进行解决 ;

将上述 111 ~ 300300300 数字 , 按照除以 333 的余数分为以下三类 :

① 除以 333 余数为 111 : A={1,4,⋯,298}A = \{ 1, 4, \cdots , 298 \}A={1,4,⋯,298}
② 除以 333 余数为 222 : B={2,5,⋯,299}B = \{ 2, 5, \cdots , 299 \}B={2,5,⋯,299}
③ 除以 333 余数为 000 : C={3,6,⋯,300}C = \{ 3, 6, \cdots , 300\}C={3,6,⋯,300}

组合问题 :

在 AAA 集合中任选 333 个数 , 三个数之和肯定是 333 的倍数 , 可以倍 333 整除 ; 选取方法有 C(100,3)C(100, 3)C(100,3) 种 ;
在 BBB 集合中任选 333 个数 , 三个数之和肯定是 333 的倍数 , 可以倍 333 整除 ; 选取方法有 C(100,3)C(100, 3)C(100,3) 种 ;
在 CCC 集合中任选 333 个数 , 三个数之和肯定是 333 的倍数 , 可以倍 333 整除 ; 选取方法有 C(100,3)C(100, 3)C(100,3) 种 ;

乘法法则 : 在 A,B,CA,B,CA,B,C 中每个集合各取一个数 , 三个数之和也是 333 的倍数 ,

第一个集合取 111 个数 , 有 100100100 种取法
第二个集合取 111 个数 , 有 100100100 种取法
第三个集合取 111 个数 , 有 100100100 种取法

总共有 1003100^31003 种取法 ;

最终的取法 , 使用加法法则 :

3C(100,3)+1003=14851003C(100, 3) + 100^3 = 14851003C(100,3)+1003=1485100

二、排列组合示例 2

1000!1000!1000! 末尾 000 的个数 ?

这个数值使用乘法计算 , 非常大 , 基本无法计算 ;

列出因式 : 将 1000!1000!1000! 看做

1000×999×998×⋯×2×11000 \times 999 \times 998 \times \cdots \times 2 \times 11000×999×998×⋯×2×1

因式 ;

原理说明 : 上述因式中有 100010001000 个因子 , 将这 100010001000 个因子分解 , 如果分解式中有 iii 个 555 , jjj 个 222 , 则 iii 和 jjj 中较小的值 min⁡{i,j}\min\{ i,j \}min{i,j} 就是 000 的个数 ;

上述 111 ~ 100010001000 这 100010001000 个数字中统计分解出的 222 和 555 的个数

统计 222 的因子个数 : 肯定大于 500 ;

① 是 222 的倍数的数字有 500500500 个
② 是 444 的倍数的数字有 250250250 个 , 分解出 2×22\times22×2 , 其中一个 222 在之前已经统计过 , 这里在加上 250250250 个 222 , 当前有 750750750 个 222 ;
③ 是 161616 的倍数的数字有 626262 个 , 分解出 2×2×22\times2 \times 22×2×2 , 其中两个 222 在之前已经统计过 , 这里在加上 626262 个 222 , 当前有 812812812 个 222 ;
④ 是 323232 的倍数的数字有 313131 个 , 分解出 2×2×2×22\times2 \times 2\times 22×2×2×2 , 其中三个 222 在之前已经统计过 , 这里在加上 313131 个 222 , 当前有 833833833 个 222 ;
⋮\vdots⋮

统计 555 的因子个数 : 249249249 个 ;

① 是 555 的倍数的数字有 200200200 个 , 统计有 111 个因子 555 的情况 , 其中肯定有的因子可以分解出 25,125,62525, 125, 62525,125,625 等情况 , 下面逐渐细化剥离出没有统计的因子 ;
② 是 252525 的倍数的数字有 404040 个 , 分解出 5×55\times55×5 , 其中一个 555 在之前已经统计过 , 这里在加上 404040 个 555 , 当前有 240240240 个 555 ;
③ 是 125125125 的倍数的数字有 888 个 , 分解出 5×5×55\times5 \times 55×5×5 , 其中两个 555 在之前已经统计过 , 这里在加上 888 个 555 , 当前有 248248248 个 555 ;
④ 是 625625625 的倍数的数字有 111 个 , 分解出 5×5×5×55\times5 \times 5 \times 55×5×5×5 , 其中三个 555 在之前已经统计过 , 这里在加上 111 个 555 , 当前有 249249249 个 555 ;

分解出的 222 的个数 iii 肯定是大于 500500500 的数 ;

分解出的 555 的个数 jjj 值为 249249249 个 ;

因此1000!1000!1000! 末尾 000 的个数是 249249249 个 ;

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