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一、集合组合、一一对应模型分析示例

排列组合参考博客 :

【组合数学】基本计数原则 ( 加法原则 | 乘法原则 )
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【组合数学】排列组合 ( 排列组合内容概要 | 选取问题 | 集合排列 | 集合组合 )
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一、集合组合、一一对应模型分析示例

将 2n2n2n 个人分成 nnn 组 , 每组 222 人 , 有多少种分法 ?

先确定该问题是否是选取问题 , 元素是否重复 , 选取是否有序 ,

不可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 集合的排列
不可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 集合的组合
可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 多重集的排列
可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 多重集的组合

2n2n2n 个人 , 人肯定是不重复的 , 分成 nnn 组 , 这里的分组是没有区别的 , 相当于集合的划分 ;

另外还有限制条件 , 每组只能放 222 个元素 ;

原始的简单模型 , 如分类 ( 加法 ) , 分步 ( 乘法 ) , 集合排列 , 集合组合 , 多重集排列 , 多重集组合 , 没有对应的模型 , 无法直接使用 ;

不是简单的选取问题 ;

这里需要考虑组有区别 , 组没有区别两种情况 ;

分组有区别的话 , 分成 nnn 组 , 先放第 111 组 , 选 222 个人 , 再放第 222 组 , 选 222 个人 , ⋯\cdots⋯ 这种方案是可以计算出来的 ;

分组没有区别 , 此时需要观察分组有区别和没有区别的差别 :

分组没有区别 , 得到一种方法 , 然后对 nnn 个分组进行全排列 , 有 n!n!n! 种排列方法 , 就得到了分组有区别的方案个数 ;

这里将分组有区别方案数与分组没有区别方案数建立对应关系 :

分组没有区别方案数×n!=分组有区别方案数分组没有区别方案数 \times n! = 分组有区别方案数分组没有区别方案数×n!=分组有区别方案数

分组有区别方案数是可以计算出来的 , 然后除以 n!n!n! , 即可得到分组没有区别的方案数 ;

分组有区别 , 按照分步处理的方案 :

① 第 111 步 : 从 2n2n2n 个元素中 , 选取 222 个元素 , 有 C(2n,2)C(2n , 2)C(2n,2) 种方案 ;

② 第 222 步 : 从 2n−22n - 22n−2 个元素中 , 选取 222 个元素 , 有 C(2n−2,2)C(2n - 2 , 2)C(2n−2,2) 种方案 ;

③ 第 333 步 : 从 2n−42n - 42n−4 个元素中 , 选取 222 个元素 , 有 C(2n−4,2)C(2n - 4 , 2)C(2n−4,2) 种方案 ;

⋮\vdots⋮

④ 第 nnn 步 : 从 2n−(2n−2)2n - ( 2n - 2 )2n−(2n−2) 个元素中 , 选取 222 个元素 , 有 C(2n−(2n−2),2)C(2n - ( 2n - 2 ) , 2)C(2n−(2n−2),2) 种方案 ; 也就是 111 种方案 ;

排列组合公式

排列 : P(n,r)=n!(n−r)!P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}P(n,r)=(n−r)!n!

组合 : C(n,r)=P(n,r)r!=n!r!(n−r)!C(n, r) = \dfrac{P(n,r)}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}C(n,r)=r!P(n,r)=r!(n−r)!n!

分步处理需要使用乘法原则 , 将 nnn 步的方案数相乘 :

N=C(2n,2)C(2n−2,2)C(2n−4,2)⋯C(2n−(2n−2),2)=2n!2!×(2n−2)!×(2n−2)!2!×(2n−4)!⋯(2n−(2n−2))!2!×(2n−(2n−2)−2)!⏟n个分步相乘前后可以约掉很多阶乘=(2n)!(2!)n\begin{array}{lcl} N &=& C(2n , 2) C(2n - 2 , 2) C(2n - 4 , 2) \cdots C(2n - ( 2n - 2 ) , 2) \\\\ &=& \begin{matrix} \underbrace{ \cfrac{2n!}{2! \times (2n-2)!} \times \cfrac{(2n-2)!}{2! \times (2n-4)!} \cdots \cfrac{(2n - ( 2n - 2 ))!}{2! \times (2n - ( 2n - 2 ) - 2)!} } \\ n 个分步相乘 \end{matrix} 前后可以约掉很多阶乘\\\\ &=& \cfrac{(2n)!}{(2!)^n} \end{array}N===C(2n,2)C(2n−2,2)C(2n−4,2)⋯C(2n−(2n−2),2)2!×(2n−2)!2n!×2!×(2n−4)!(2n−2)!⋯2!×(2n−(2n−2)−2)!(2n−(2n−2))!n个分步相乘前后可以约掉很多阶乘(2!)n(2n)!

分组有区别的方案个数是 (2n)!(2!)n\cfrac{(2n)!}{(2!)^n}(2!)n(2n)! 个 ;

根据分组没有区别方案数×n!=分组有区别方案数分组没有区别方案数 \times n! = 分组有区别方案数分组没有区别方案数×n!=分组有区别方案数

公式 ;

分组有区别方案数是可以计算出来的 , 然后除以 n!n!n! , 即可得到分组没有区别的方案数 ;

最终结果是 (2n)!(2!)nn!\cfrac{(2n)!}{(2!)^n n!}(2!)nn!(2n)!

该问题不是简单的使用 原始的简单模型 , 如分类 ( 加法 ) , 分步 ( 乘法 ) , 集合排列 , 集合组合 , 多重集排列 , 多重集组合 ;

而是将不可计算的模型 , 对应到一个可计算的模型中 , 然后计算出该模型的重复度

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