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一、多重集组合示例
二、三个计数模型

排列组合参考博客 :

【组合数学】基本计数原则 ( 加法原则 | 乘法原则 )
【组合数学】集合的排列组合问题示例 ( 排列 | 组合 | 圆排列 | 二项式定理 )
【组合数学】排列组合 ( 排列组合内容概要 | 选取问题 | 集合排列 | 集合组合 )
【组合数学】排列组合 ( 排列组合示例 )
【组合数学】排列组合 ( 多重集排列 | 多重集全排列 | 多重集非全排列所有元素重复度大于排列数 | 多重集非全排列某些元素重复度小于排列数 )
【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数 | 所有元素重复度大于组合数 | 多重集组合数推导 1 分割线推导 | 多重集组合数推导 2 不定方程非负整数解个数推导 )

一、多重集组合示例

将 rrr 个相同的球 , 放到 kkk 个不同的盒子中 , 每个盒子中球的个数不限 , 求放球的总方法数 ?

球是没有区别的 , 球放到盒子里 , 球没有标号 , 盒子有标号 , 每个盒子放球的个数不同 ;

落入每个盒子中球个数不同 , 就是不同的方案 ;

假设 nnn 个盒子 , 每个盒子的球数为 x1,x2,⋯,xkx_1 , x_2 , \cdots , x_kx1,x2,⋯,xk ;

存在不定方程 : x1+x2+⋯+xk=rx_1 + x_2 + \cdots + x_k = rx1+x2+⋯+xk=r

取值 : x1,x2,⋯,xkx_1 , x_2 , \cdots , x_kx1,x2,⋯,xk 的取值为非负整数 , 可以取值 0∼r0 \sim r0∼r 之间的值 ;

该问题可以等价于多重集 S={n1⋅a1,n2⋅a2,⋯,nk⋅ak},0≤r≤ni≤+∞S = \{ n_1 \cdot a_1 , n_2 \cdot a_2 , \cdots , n_k \cdot a_k \} , \ \ \ 0 \leq r \leq n_i \leq +\inftyS={n1⋅a1,n2⋅a2,⋯,nk⋅ak}, 0≤r≤ni≤+∞ 的 rrr 组合数 ;

N=C(k+r−1,r)N= C(k + r - 1, r)N=C(k+r−1,r)

参考 : 【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数 | 所有元素重复度大于组合数 | 多重集组合数推导 1 分割线推导 | 多重集组合数推导 2 不定方程非负整数解个数推导 )

上述 rrr 个相同的球 , 放在 kkk 个不同盒子中 , 放球方法数是
N=C(k+r−1,r)N = C(k + r - 1, r)N=C(k+r−1,r)

二、三个计数模型

三个计数模型 :

① 选取问题 :
② 多重集组合问题 :
③ 方程非负整数解 :

1. 选取问题 :

nnn 元集 SSS , 从 SSS 集合中选取 rrr 个元素 ;

根据元素是否允许重复 , 选取过程是否有序 , 将选取问题分为四个子类型 :

	元素不重复	元素可以重复
有序选取	集合排列 P(n,r)P(n,r)P(n,r)	多重集排列
无序选取	集合组合 C(n,r)C(n,r)C(n,r)	多重集组合

选取问题中 :

不可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 集合的排列
不可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 集合的组合
可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 多重集的排列
可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 多重集的组合

2. 多重集组合问题 :

S={n1⋅a1,n2⋅a2,⋯,nk⋅ak},0≤ni≤+∞S = \{ n_1 \cdot a_1 , n_2 \cdot a_2 , \cdots , n_k \cdot a_k \} , \ \ \ 0 \leq n_i \leq +\inftyS={n1⋅a1,n2⋅a2,⋯,nk⋅ak}, 0≤ni≤+∞

元素种类 : 多重集中含有 kkk 种不同的元素 ,
元素表示 : 每个元素表示为 a1,a2,⋯,aka_1 , a_2 , \cdots , a_ka1,a2,⋯,ak ,
元素个数 : 每个元素出现的次数是 n1,n2,⋯,nkn_1, n_2, \cdots , n_kn1,n2,⋯,nk ,
元素个数取值 : nin_ini 的取值要求是大于 000 , 小于正无穷 +∞+ \infty+∞ ;

上述多重集的组合 , 当 所有元素的重复度 nin_ini 组大于组合数 rrr 时 , r≤nir \leq n_ir≤ni 时 , 多重集的组合数为

N=C(k+r−1,r)N= C(k + r - 1, r)N=C(k+r−1,r)

3. 不定方程非负整数解问题 : x1+x2+⋯+xk=rx_1 + x_2 + \cdots + x_k = rx1+x2+⋯+xk=r

非负整数解个数为 : N=C(k+r−1,r)N= C(k + r - 1, r)N=C(k+r−1,r)

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