妙用分部积分处理双重积分

在大学数学分析中，我们学习了分部积分方法，即

$\int u^\prime (x) v(x) dx = u(x)v(x) - \int u(x)v^\prime (x) dx$

在大学时，我们常用该方法进行积分求解，例如带有指数函数的函数的积分等，但在很多地方巧用该方法也能够达到神奇的效果。下面，我们以一道微分方程求解问题切入，来感受一下分部积分方法的效果。

已知： $\dfrac{d^2 y}{dt^2} = - u(t)$

求证： $y = C_2 + C_1t - \int_0^t (t - \xi) u(\xi) d\xi$ ，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为常数。

证明：从题目很容易可以得到如下结果

$\begin{align} \ddot{y} & = -u(t) \nonumber \\ \dot{y} & = - \int_0^t u(\tau) d\tau + C_1 = z(t) \nonumber \\ y & = C_2 + \int_0^t z(\tau) d\tau \nonumber \\ & = C_2 + \int_0^t \left[ -\int_0^\tau u(\xi)d\xi + C_1 \right ] d\tau \nonumber \\ & = C_2 + \int_0^t C_1d\tau - \int_0^t \int_0^\tau u(\xi) d\xi d\tau \nonumber \\ & = C_2 + C_1t - \int_0^t \int_0^\tau u(\xi) d\xi d\tau \nonumber \end{align}$

但由于不知道 $u(t)$ 的具体表达式，最后一个双重积分无法化简，为进一步化简上式，则可采用分部积分方法对上式进行处理，具体如下。

取：

$\begin{align} \mathbb{I} & = \int_0^t \int_0^\tau u(\xi) d\xi d\tau \nonumber \\ v(\tau) & = \int_0^\tau u(\xi) d\xi \nonumber \end{align}$

则有

$\begin{align} \mathbb{I} & = \int_0^t v(\tau) d\tau \nonumber \\ & = \left[ \tau v(\tau) \right ]_0^t - \int_0^t \tau v^\prime (\tau)d\tau \nonumber \\ & = tv(t) - \int_0^t \tau u(\tau) d\tau \nonumber \\ & = t\int_0^t u(\xi) d\xi - \int_0^t \xi u(\xi) d\xi \nonumber \\ & = \int_0^t (t - \xi) u(\xi) d\xi \nonumber \end{align}$

将上式代入 $y$ 的表达式可得

$y = C_2 + C_1t - \int_0^t (t - \xi) u(\xi) d\xi$

证毕。

通过上述证明过程，我们可以看到，借助分部积分方法，我们成功对一个二阶微分方程进行了求解，并将结果中的双重积分去除了一重，化简为一个仅含有单重积分的表达式。上述问题的求解算是分部积分的一个应用，为问题的求解和结果的简化带来了不少好处。以后在处理积分相关问题难以着手时，不妨考虑从分部积分的角度进行尝试，也许会得到意想不到的效果。

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