曲线积分，曲面积分分别有七个小节。

1 对弧长的曲线积分

2 对坐标的曲线积分

3 格林公式及其应用

4 对面积的曲面积分

5 对坐标的曲面积分

6 高斯公式

7 斯托克斯公式

然而今天看了斯托克斯公式，明白了其用法。昨天看了对坐标的曲面积分。明白了是怎么回事。

之前对弧长，坐标的曲线积分。做过相关的题也知道是怎么回事。然后格林公式还自己推导过。只是这些都忘记了。

说明了一件事，写博客太重要了，应该好好写。回顾过去，要是当年学PHP 和 JAVA时写好博客，要是当年学操作系统，IOS时也写好博客。

那现在的积累肯定是巨大的。也不用担心工作，和GPA, 和出国的问题。唉！！！这让我想起了，SCOTT YOUNG说过的一句话。只有在教别人的时候，

人们的理解水平，实践能力才达到最高的效率。写博客和GITHUB也一样，就是自己来教过去的自己，教未来的自己。也教所有其他在网络世界中寻找知识的游客。

废话不多说，说说，一道题。

题1若质点在变力F，作用下，沿着螺旋线T：x=2cost,y=2sint,z=t.从点M(2,0,0)出发。到点N(-2,0,PI),变力所做的功是多少？

这是一道曲线积分题，同时也是一道，看起来是第二种曲线积分，实际上是第一种曲线积分的题。

矢量和常量

因为，如果是对弧长的曲线积分的话，物理意义是曲线f(x,y)是密度，ds是一小段长度，算质量。其中，小段长度和密度都是没有方向的量。

计算方法，就是将曲线函数化成参数方程：

证明方法先不提。而做功不同，力是有方向的矢量，位移也是。就是在点x,y存在多个被积函数( P(x,y) , Q(x,y) , R(x,y) ...)这就是有方向和没有方向的区别。

第二种曲线积分是两个矢量的相乘，第一种是两个常量的相乘。性质满足线性，可加性，反向性：

计算方法：证明方法先不提。

但是上述的题目，所写出的公式，最后没有Q，没有R，只有P。如果把它改成 P,Q,R模式就满足第二种曲线积分。

现在找找一些题来看看。

题2

另外这里要注意，灵活运用cosx^2 - sinx^2 =cos2x

题3

这个解题过程有点乱，就是中间有一部分是不需要的。

题4

这个解题过程中有一个错的地方，就是F，力向量我是写错方向的。因为指向原点所以本该是X,Y都

带负号。

如何把做题的内容上传呢？打字是不行的。还是写好拍照上传到微信截图。

格林公式又是怎么回事，格林公式说明了一件事。平面闭区域D上的积分，和它边界线的曲线积分有关。

相当于，莱布尼兹的公式的平面版本：

这是公式的平面版，哈哈看起来和原版有些不同。证明先不说。

1 一般是先通过右式得到P,Q函数，然后求偏导得到左式的二重积分。

2 或者是知道左式，然后令P等于0然后，得知右式。然后去计算。

3 或者是求其证明过程。这是证明过程的一个副产品。

题5

在做题的过程中，把公式写错了。导致后面所有的错误，切记右边是，q对x求偏导-p对y求偏导.

题6

做题的时候，把原式转换成一个曲线积分后，就无法再继续下去了。其实还可以继续。

分成多段曲线积分，发现其中两段为0，实际只需要求一段，根据那一段线的公式，

可以把x,y都用一个变量替换后，来求。

题7

这个求得正确，还不错。先把要用的格林面积公式推导写出来，是有用的。

题8

这里就是多元化函数偏导数求错了，p对y的偏导求错，q对x偏导数求错。实际上，

这样，相等的话后面就很容易得出答案了。这样才是对的，我的偏导数求错了。后面导致了错误。

但是实际上还可以考虑，经过原点的情况。很难懂，估计要问问人。

还有寻找并且证明曲线积分与路径无关的条件。

那么首先得思考清楚，什么是路径无关。

这就是路径无关，要证明路径无关，非常容易。把右边的式子移动到左边，下标则变成了逆向l2.

于是整个左边的式子就变成了，封闭曲线的积分，利用格林公式，把封闭曲线积分，转换成对曲面的

积分，于是得到：(不过这是证明了条件充分性，即路径无关可以推出该3-5公式)

那要证明，条件的必要性，就让3-5推导出路径无关，这里可以用反证法，先让p对y偏导数-q对x偏导数不等于0。

当然还有全微分的问题。

定理2

证明就先不说了。

推论2

这个证明也就先不说了。

先搞两道题做一做，感悟一下，这定理和推论。

很明显，求复合偏导数，还是相当容易出错的，特别是符号。

然后不知道如何得到u是个问题。我从定理2证明过程中，证明必要性的过程中。

知道了u是可以用两条直线的积分去求。

但是为什么ab直线的积分为0，bc直线积分是这个。为甚么x0=1 y0=0?

我知道ab为何为0，因为此时y的范围(0,0)，所以不存在dy，dy=0

二bc直线的积分需要知道1/a^2+x^2的积分是啥，我不知道，所以是积分的基础不行。

至于从(1，0)开始可能是方便计算，因为不能从 (0，0)开始呀。