【C++代码】区间重叠问题

题目：输入n个区间，给出每个区间的开始位置和结束位置（都是整数），求最多有多少个区间重叠？

该题目也可描述为给出每件事情的开始时间和结束时间（都为整数），求最多有多少个事件同时发生？以下的讲解以这种时间的概念讲解（感觉更容易理解一些）。

输入输出用例：第一行为事件个数，从第二行开始，每行为一个事件的开始时间和结束时间，中间用空格隔开。
5
1 4
1 2
2 3
3 4
3 5

方法一：
求最多有多少个事件同时发生，那我们可以依次把每个时刻（都是整数）发生了多少个事件求出来，找出最大值，即为答案。
如图，先求出t1时刻发生了多少事件，再求t2时刻发生了多少事件，再求t3时刻发生了多少事件，一直求到t4时刻发生了多少事件。
求某一时刻发生了多少事件，需要遍历所有事件，判断事件的起始时间start和结束时间end是否满足：start<=t<end，若满足，则t时刻发生的事件数+1。

时间复杂度度警告！！！这种方法时间复杂度非常高，一共有tmax个时刻，每个时刻遍历一遍所有事件判断该事件在当前时刻是否发生，O（tmax*n）的复杂度。

C++代码：

int main() {// 处理输入输出int n;cin >> n;vector<vector<int>> vec(n,vector<int> (2));  // 保存每个事件的起始时间和结束时间int max_en = 0;       // 保存最大的时间for (int i = 0; i < n; ++i) {       scanf("%d%d", &vec[i][0], &vec[i][1]);      max_en = max(max_en, vec[i][1]);}// 求每一时刻发生了多少事件int res = 0;for (int i = 1; i <= max_en; ++i) {int cur = 0;    // 保存时刻i发生的事件数量for (const auto &j : vec) {if (i >= j[0] && i < j[1]) {++cur;      // 如果该事件的起始时间和结束时间包含该时刻i，则事件数+1}}res = max(res, cur);  // 更新某时刻发生事件数量的最大值}cout << res;
}

方法二：
可以额外建一个长度为tmax的数组，数组的每个元素代表当前时刻发生的事件个数，数组元素全部初始化为0。然后只需要遍历一遍所有事件，每遍历到一个事件，就把数组的该事件的start到end部分元素值+1，表示这段时间又多了一个事件发生。最后数组元素的最大值，就是同时发生最多事件的数量。

时间复杂度警告！！！这种方法时间复杂度仍为O（n*tmax），但每个事件并不是从0~tmax都有值，而是只占了一小段时间，因此最优复杂度低一点，比上一种方法快一点。

C++代码：

int main() {// 处理输入输出int n;cin >> n;vector<vector<int>> vec(n, vector<int>(2));  // 保存每个事件的起始时间和结束时间int max_en = 0;       // 保存最大的时间for (int i = 0; i < n; ++i) {scanf("%d%d", &vec[i][0], &vec[i][1]);max_en = max(max_en, vec[i][1]);}vector<int> v(max_en + 1, 0);   // 额外建一个数组，保存每一时刻发生了多少事件for (const auto &j : vec) {for (int i = j[0]; i < j[1]; ++i) {++v[i];}}auto res = max_element(v.begin(), v.end());cout << *res;
}

方法三：
以上两种方法都比较好理解，但时间复杂度太高，还有别的方法，以后更新。

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