【归档】证明V的三个子空间的并是V的子空间，当且仅当其中一个子空间包含另外两个子空间

Note: 旧的wordpress博客弃用，于是将以前的笔记搬运回来。

Foreword:
标记，目前没有完成这道题，想出证明后会进行完善。

Question:
Prove that the union of three subspaces of V V V is a subspace of V V V if and only if one of the subspaces of V V V contains the others.
证明 V V V的三个子空间的并是 V V V的子空间当且仅当其中一个子空间包含另两个子空间。
Solution:
Let A A A, B B B, C C C be the three subspaces of V.
Part 1:
Assume A ∪ B ∪ C = A A \cup B \cup C = A A∪B∪C=A or B B B or C C C.
Clearly A ∪ B ∪ C A \cup B \cup C A∪B∪C is one of these three vector spaces of A A A, B B B, C C C. Therefor A ∪ B ∪ C A \cup B \cup C A∪B∪C is the subspaces of V V V.
Part 2:
Assume A ∪ B ∪ C ≠ A A \cup B \cup C \neq A A∪B∪C=A or B B B or C C C.
Firstly, consider the condition:
A ∪ B ∪ C = A ∪ B A \cup B \cup C = A \cup B A∪B∪C=A∪B or B ∪ C B \cup C B∪C or A ∪ C A \cup C A∪C.
We have discussed this situation in the previous blog, you can read it by clicking this link: 证明V的两个子空间的并是V的子空间当且仅当其中一个子空间包含另一个子空间.
Secondly, consider the situation that neither of these three subspaces contained in the others.

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