【归档】证明V的两个子空间的并是V的子空间当且仅当其中一个子空间包含另一个子空间

Note: 旧的wordpress博客弃用，于是将以前的笔记搬运回来。

Question:
Prove that the union of two subspaces of V V V is a subspace of V V V if and only if one of the subspaces of V V V is contained in the other.
证明V的两个子空间的并是B的子空间当且仅当其中一个子空间包含领一个子空间。
Solution:
Assume two set A, B are subspaces of V V V.
Part 1:
Assume A ∪ B = A A \cup B = A A∪B=A or B B B.
Clearly A ∪ B = A A \cup B = A A∪B=A or B ∈ V B \in V B∈V.
Therefor if one subspace of V V V is contained in the other, the union of two subspaces is a subspace of V V V.
Part 2:
Assume A ∪ B ≠ A A \cup B \neq A A∪B=A or B B B.
Now we take a ∈ A a \in A a∈A but not in B B B, and b ∈ B b \in B b∈B but not in A A A.
Since a ∈ A a \in A a∈A, we know − a ∈ A -a \in A −a∈A.
Assume a + b ∈ A a + b \in A a+b∈A.
As we know, A A A is a subspace of V V V. So A A A is closed under addition.
Therefor, ( a + b ) + ( − a ) (a + b) + (-a) (a+b)+(−a) should be in A.
But in fact, ( a + b ) + ( − a ) = b (a + b) + (-a) = b (a+b)+(−a)=b. We have assumed that b ∉ A b \notin A b∈/A. We have reached a contradiction on the assumption that a + b ∈ A a + b \in A a+b∈A. Thus a + b ∉ A a + b \notin A a+b∈/A.
If we assume a + b ∈ B a + b \in B a+b∈B, we will also reach a contradiction like this.
Therefor, a + b a + b a+b is not in A and B.
i.e. a + b ∉ A ∪ B a + b \notin A \cup B a+b∈/A∪B.
Then the set A ∪ B A \cup B A∪B isn’t closed under addition.
Therefor if A ∪ B ≠ A A \cup B \neq A A∪B=A or B B B, A ∪ B A \cup B A∪B is not a subspace of V.
Now we have proved that the union of two subspaces of V V V is a subspace of V V V if and only if one of the subspaces of V V V is contained in the other.

【归档】证明V的两个子空间的并是V的子空间当且仅当其中一个子空间包含另一个子空间相关推荐

【归档】证明V的三个子空间的并是V的子空间，当且仅当其中一个子空间包含另外两个子空间
Note: 旧的wordpress博客弃用,于是将以前的笔记搬运回来. Foreword: 标记,目前没有完成这道题,想出证明后会进行完善. Question: Prove that the unio ...
Merkle 树——空间换时间，分而治之的hash表，通过根节点是由它的两个子节点内容的哈希值组成来校验数据完整性，定位篡改的数据位置...
Merkle 树图 1.5.6.1 - Merkle 树示例默克尔树(又叫哈希树)是一种二叉树,由一个根节点.一组中间节点和一组叶节点组成.最下面的叶节点包含存储数据或其哈希值,每个中间节点是它的 ...
线性代数学习笔记4-6：矩阵的四个子空间（零空间、列空间、行空间、左零空间）、初等行变换、测验题
与矩阵有关的四个子空间掌握矩阵的四个子空间,就掌握了线性代数的半壁江山之前说过,只要掌握①空间的一组基②空间的维数(基向量的个数),就获得了空间的所有信息对于一个矩阵 A m × n \math ...
线性代数学习笔记10-4：左右逆、伪逆/M-P广义逆（从四个子空间和SVD角度理解）
下面讨论m×nm\times nm×n的秩为rrr的矩阵对于不同情况,讨论逆矩阵两侧逆矩阵 2-sided inverse 这也是一般所说的"逆矩阵"的含义方阵A\bolds ...
问题 A: 第二题（划分一个集合为差值最小的两个子集合）
题目描述一个数组中有若干正整数,将此数组划分为两个子数组,使得两个子数组各元素之和a,b的差最小,对于非法输入应该输出ERROR. 输入数组中的元素输出降序输出两个子数组的元素和样例输入 1 ...
MIT公开课18.06 Gilbert Strang 线性代数笔记1 - Ax=b和四个子空间
文章目录相关链接课程链接参考笔记链接问题第1讲:方程组的集合解释 1. 从方程组到矩阵 2. Ax=bAx = bAx=b解法1:row picture 行图像 3. Ax=bAx = bA ...
网易实习生算法组编程题二：求数组的两个子数组和的最大值
求一个正整数数组的两个子数组,使其和相等,找出满足这样要求的子数组和的最大值,若不存在,则返回-1.比如[1,1,2,3,5,20],结果为6. #include<iostream> #i ...
Linux中fork()系统调用创建两个子进程
使用系统调用fork()创建两个子进程: #include <stdio.h> #include <unistd.h>int main(){int fpid = fork(); ...
oracle在非归档模式下,Oracle在非归档模式下不能更改表空间为备份模式
Oracle表空间设置为备份模式后,便可以联机对表空间下数据文件进行文件系统级别的copy备份操作,因为期间对表空间的修改都记录到数据库的重做日志文件中. 由此想到数据库如果是非归档模式,那么这个表空 ...

【归档】证明V的两个子空间的并是V的子空间当且仅当其中一个子空间包含另一个子空间

【归档】证明V的两个子空间的并是V的子空间当且仅当其中一个子空间包含另一个子空间相关推荐

最新文章

热门文章