凸函数的四个定义

定义一

其中 dom fff 是函数 fff 的定义域（前域），为凸集——这个很重要，后面的一些定义中也会用到，甚至对于凹函数也是。

从几何意义上来说，（3.1）意味着曲线上，从 xxx 到 yyy 的弦，在函数 fff 的图像上方。
若 xxx 和 yyy 不相等，且 0<θ<10<\theta<10<θ<1 ,称该函数 fff 是严格凸的

tip

fff 为凸， −f-f−f 为凹函数
fff 为严格凸， −f-f−f 为严格凹函数
所有仿射函数为既凸又凹的；反之，某个函数为既凸又凹的，则为仿射函数

定义二

函数是凸函数，当且仅当其在与其定义域相交的任何直线上都是凸的。

换言之，函数 fff 是凸的，当且仅当对于任意 x∈x\inx∈domfff 和任意向量 vvv，
函数 g(t)=f(x+tv)g(t)=f(x+tv)g(t)=f(x+tv) 是凸的（其定义域为{t∣x+tv∈t|x+tv\int∣x+tv∈domfff}）

该性质容许我们通过将函数限制在直线上判断其是否为凸函数；
也可以说这个定义将原高维空间降到了一维空间。

定义三

此处假设 fff 可微，dom fff 为凸集和任意 x,y∈x,y\inx,y∈domfff 满足（3.2）不等式，则说明函数 fff 为凸函数。
该定义也可称为凸函数的一阶条件

用二维曲线，可以比较直观的说明相互关系。

定义四

假设 fff 二阶可微，对于开集domfff内的任意一点，它的Hessian矩阵或二阶导数存在，则函数 fff 为凸函数的充要条件是，Hessian矩阵是半正定阵。

当对于R上的函数，可以简化为条件 f′′(x)≥0f''(x)\ge0f′′(x)≥0 (当然此时依然需要满足domfff是凸的，即一个区间)。
该定义也可称为凸函数的二阶条件。

类似的，函数 fff 是凹函数的充要条件是，domfff 是凸集且对于任意x∈x\inx∈domfff，∇2f(x)⪯0\nabla^2f(x)\preceq0∇2f(x)⪯0

一些栗子

指数和的对数为凸函数的证明如下：

几何平均的函数为凹函数的证明如下：（个人的方法）

可将上图大的矩阵设为U
即证明U为正定矩阵即可，
即证明：任意矩阵V，VTUV≥0V^TUV\ge0VTUV≥0
上式可化简如下

教材里的方法：

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