线性代数【7】 向量和线性相关性
前言：施光燕老师的课，最大的特点，就是不仅仅传授概念，往往从本质上，说明，我们学的概念有什么用，为什么要设定这个概念，这节的知识就是一个典型的例证。
本节讨论了向量的概念，向量其实就是一些我们认为有关系的数列。
同时 ，讨论了线性相关性，为什么讨论线性相关性呢，因为，我们要在复杂的向量关系里面进行简化，去除拿下可以去除的向量，那么，我们就需要用线性相关性去判别哪些向量有关系，哪些没有，这节就是讲这个概念。
向量的线性相关性，
首先，把向量的概念搞清楚，就是一组有顺序关系的数据，然后，几组数据组合在一起就是向量表。
齐次，线性相关，如果从数学表达式里面理解，就是一组数据通过简单的加减乘除进行线性组合，为啥是线性组合能，这要从几何意义理解比较容易，因为向量我们知道就是几何上就是一个有方向的线段，既然是线段，拿他就是直的，他没有弯曲的螺旋的屁股，他很直白，既然是线，那么就是具备线性上的性质。
再次，我们知道了向量的线性相关，就可以理解为，把一大群有逻辑意义，或者说有顺序关系的数据组合起来，在日常生活中，有很多类似的数据，本文也列举了。比如，你炒股，今天盈利，明天亏损，那么计算你炒股的盈利能力就需要考虑你的炒股数据的时间顺序，也就是数的顺序。那么，如何表征你炒股能力的高低？那就需要在庞大的炒股数据组中，找到你盈利的直接的相关数据，其他冗余的数据就可以清理掉。
比如：你的炒股的分时数据，打个比方，你的分时线数据，5分钟，10分钟，半小时，一小时，一天，一个月，我们只需要找到里面一个能表述你炒股能力的数据，比如10分钟的MACD，其他的数据，比如半小时，一天都可以用10分钟的MACD数据，通过加减乘除，其实就是最小单位粒度的倍数来重新表述，那么这些数据我们就不要了。
再次，在数学分析里面，所有的数据都没有给出权重，都是平等的，那么我们就可把互为表述的向量都移动到左边，右边留为0，左边就已经向量构成了一个矩阵。
然后，我们研究这个矩阵
然后，通过行列式，线性变换等初等的变换，我们简化这个矩阵，把他转换为阶梯阵，这样就明显看出了哪些向量可以剔除，而表征这个相关性的量就是秩，说白了，就是数据相关的程度
如果我们有N个向量，而秩是N，那么就是每个向量都是独立的，都是各自为政，那么就是不相关了。如果，有一个相关，那么秩就会减少一个单位，变成N-1.
最后，我们要通过矩阵的最大线性相关的计算来获取正确的最大线性相关向量，又要保证不把重要的数据剔除了。
1 N维向量
要抓住研究对象的最基本的构成（这个是马克斯的观点）
矩阵、行列式里面，最基本的构成（我们理解为事情最有意义的的基本构成），应该是一行或者一列的数字，这些数字是有逻辑关系的。我们称为向量：
每个数叫做分量，有几个数就是几维向量。向量列排，也可以看成是矩阵的列矩阵。
向量的运算也就是矩阵的运算。
2 向量组的线性相关性：
【什么是线性】向量的运算式子就是向量的线性组合。
【公式一】
【公式一】中有一个向量贝塔和一个阿发的线性组合相等，
就认为其【贝塔】为【阿法】向量的线性表出。
在向量运算中，我们重点要了结他们直接的关系。这样就可以忽略其中某个向量。
【案，也就是简化】
简化，简化，简化
由【公式一】如果这两个向量是平等的，也就是没有区分的权重，那么可以把所有的向量放到一个0等的左边，于是有：
【案：笔者理解为，既然向量都是平等的，那么表述也就是各为表述，也就是写成上面的方程】
那么，要求这个符合条件的取值【案，所谓符合条件，就是符合满足线性表述的条件，也就是如果满足符合线性表述的条件，那么就是符合向量之间可以化简的条件】，就是，相当于找到这个值，也就是解这个系数方程：
也就是这个线性方程组，有没有0解。【如果有解，那么就是可以互为表述，那么，既然可以互为表述，那么就可以减少方程中向量的个数，从而简化向量方程组。】
3 极大线性相关组：
【案，极大线性相关组，其实就是找到最简答的表述向量关系的方程组。类似于，我们生活中，遇到了很多问题，比如，打篮球，要验证哪种篮球比较好，我们需要在无数种篮球的数据中，找到本质上能反应篮球特征的数据来分析，因为，我们只需选一个皮的篮球，一个橡胶的篮球，一个塑料的篮球来研究，而不需要把市场上所有篮球来研究了。
但是，我们研究的对象是未知的，那么，比如篮球，我们也许不知道这些篮球有皮的，塑料的，橡胶的分类和区别，我们只有一直向量数据。如何研究这些不同篮球的表现，其本质，也就是我们在本节一开始就提到的，追求事物的本质的基本原理，就是我们提到的线性相关性】
也就是用最少的部分掌握全体的办法。
表述为：
我们要简化【丢掉】些线性相关的向量，那么就留下了线性无关的向量对不对？而且，既然我们丢掉的向量不能影响整个研究的对象关系，那么，这些向量之间都应该能够互为线性表出【也就是能够互为代替】，否者是不能扔掉的。简化【踢掉】后留下的这部分向量，也当然每个向量都能用这部分互为线性表出。
上述一个4维向量，我们取两个向量看看他们是不是线性相关，如下：我们按照向量线性方程可以求出
上述，为线性相关性的表述，可以看到，这个4维向量的向量之间是具备线性相关性的。【因为说有点向量都可以用我们刚才选出的两个向量进行线性表述】
然后，我们任意取其他的两个向量，验证上述条件。
【比如，上面的例题是2个】
针对一组向量，把他并起来写成一个矩阵。然后，变成阶梯阵。将阶梯阵里面非零行的行数和这组的向量个数进行比较。如果小于，这这组向量是线性相关，否则不相关。
如何求极大线性无关组呢，我们只需要把这组向量的左边第一个元素取出来，构成这个向量组，这个组就是极大线性无关组。
也就是阶梯阵的秩。
将向量并在一起构成一个矩阵，这里向量的个数【一个列为一个向量】是4，
然后，进行初等行变换，变成阶梯阵
上图，中1,3被圈的位置，分别为第一个和第3个向量，这两个向量组成的向量组，就是极大线性无关组。他的个数是2，那么这个线性相关组的秩就是2 。
B站，施光燕
研究生入学资格考试，数学复习指导。【上海交通大学】
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