数理方程及MATLAB解算学习笔记

文章目录

数理方程及MATLAB解算学习笔记
- 第一章 MATLAB基础知识
- - 1、class查询数值类型
  - 2、永久性数值变量
  - 3、创建特殊矩阵的专用指令
  - 4、基本初等函数及统计函数指令
  - 5、用syms指令定义符号变量
  - 6、符号矩阵
  - 7、求算与微积分有关的指令
  - - ==1、级数求和指令symsum==
    - 2、一元函数的泰勒级数展开指令是taylor
    - 3、求函数极限的指令为limit
    - 4、求导数的指令为diff
    - 5、求积分的指令为int
  - 8、求解一阶偏微分方程
  - 9、定义全局变量

第一章 MATLAB基础知识

1、class查询数值类型

class(a)

2、永久性数值变量

变量名	意义
pi	圆周率π
INF或Inf	正无穷大
ans	临时变量名
eps	机器浮点运算误差限(2.2204*10 ^-18 )
i或j	虚数单位，代表−1\sqrt{-1}−1
NaN	不定值。如：00\frac{0}{0}00，∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞,0, ∞\infty∞

3、创建特殊矩阵的专用指令

指令格式	功能
flipud(a)	输出矩阵a上下翻转后的矩阵
fliplr(a)	输出矩阵a左右翻转后的矩阵
diag(a,k)	输出矩阵a的主对角线右移k列后构成的列向量。省略k时，视k=0
tril(a)(triu(a))	输出矩阵a主对角线下(上)方元素构成的下(上)三角矩阵

4、基本初等函数及统计函数指令

指令	意义	指令	意义
log(x)	ln(x)	angle(x)	复数x的相角
log2(x)	log2(x)_2(x)2(x)	cumsum(x)	x列元素累加和
exp(x)	ex^xx	cumprod(x)	x列元素累进积
sqrt(x)	x\sqrt{x}x（平方根)	mean(x)	x列元素平均值
sinh(x)	双曲正弦 shx	prod(x)	x列元素之积
sign(x)	数x的正负号	round(x)	输出x的四舍五入取整
real(x)	x的实部	fix(x)	输出x靠近零的整数
imag(x)	x的虚部	floor(x)	输出靠近-∞\infty∞的整数
abs(x)	x绝对值或模	ceil(x)	输出靠近∞\infty∞的整数
nchoosek(m,n)	m中选n的组合数CnmC^m_nCnm	pord(m:n)	m(m+1)···(n-1)n
sort(x)	x列元素按升序重排	factorial(x)	输出x!
median(x)	输出x列元素的中间值	pow2(x)	输出2x2^x2x
rem(x1,x2)	输出x1./x2的余数	mod(x1,x2)	输出x2.\x1的余数
inv(x)	x的绝对值	conj(x)

5、用syms指令定义符号变量

简单来说就是把一个式子定义成符号变量

用法1：sysm a1 a2 a3 … flag1

(1)输入参量a1,a2,a3,……只能是标识符，不得是数字、函数表达式或方程式。

(2)输入参量a1,a2,a3,…,flag1之间，只能用空格分隔，不得添加任何符号。

(3)输入参数flag1是规定被定义符号量属性的，称为属性符，它可跟据需要选用下述字符串之一：

代码	字符串类型
unreal	定义成复数型符号量
real	定义成实数型符号量
negative	定义成负实数型符号量
positive	定义成正实数型符号量
nonzero	定义成非零型符号量

真是一刻也不能松懈呀

也可用sym创建符号矩阵

用法2:sym(A)

输入参量A可以是数值矩阵、字符量矩阵、符号量表达式，也可以是方程。矩阵中两个元素之间最好用逗号分隔，以防对空格的误识别

6、符号矩阵

符号矩阵中的元素可以是任何的符号或者表达式，而且长度没有限制，只是将方括号置于用于创建符号表达式的单引号中。

符号矩阵的替换和修改可用替换指令subs实现

用法：B1=subs(B,old,new)

(1)输入参量B代表符号矩阵中的单个元素或部分元素，叫符号矩阵的标识

(2)输出的符号矩阵B1为B中old部分被new代替后的矩阵

(3)old为元素位置

符号矩阵的简化可用simplify指令实现

用法：simplify(s)

s为符号矩阵

7、求算与微积分有关的指令

1、级数求和指令symsum

用法：symsum(s,n,n0,nk)

(1)输入参量s为级数通项的符号表达式，或由它们构成的符号矩阵。

(2)输入参量n是通项中被认定的项数变量，缺省n时默认为“x”。如果难以确认s表达式中的项数变量，可输入指令findsym(s)查询。

(3)n0和nk分别为首项和末项的序号。n0可以是小数，但步长总是1。缺省n0和nk时，默认n0=1，nk=n-1。

(4)回车后输出通项为s的级数从第n0项到第nk项之和。

例：求级数S∑n=0∞(−1)nxn+1n+1\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}∑n=0∞(−1)nn+1xn+1

clear,syms x n
S=symsum((-1)^n*x^(n+1)/(n+1),n,0,inf)

2、一元函数的泰勒级数展开指令是taylor

用法：taylor(f,‘order’,n,‘ExpansionPoint’,a)

(1)输入参量f为待展开函数的符号表达式，或由它们构成的矩阵，f不得省略。

(2)输入参量n取正整数，代表级数的项数，输出是将f表达式展开成最高幂次为(n-1)的幂级数。

(3)输入参量x为指定的变量名称，如果没写的话就默认为x或t。如果f中只有一个变量时，可以省略指定变量名。

(4)输入参数a表示函数f(x)在x=a处展开，即展开成(x-a)的幂级数。

(5)缺a时默认a=0，函数在x=0处展开，即展开为麦克劳林级数。缺n时，默认级数的项数n=6，函数f(x)展开成x最高幂次为5的幂级数。

例：把函数f(x)=e−xe^{-x}e−x在x=10处展开，x的最高次项取为9。

clear,syms x
s = taylor(exp(-x),'order',9,'ExpansionPoint',10)

3、求函数极限的指令为limit

用法：limit(f,x,a,‘right’或’left’)

(1)f为函数f(x)或函数矩阵的符号表达式。

(2)输出为limx→af(x)lim_{x\rightarrow a}f(x)limx→af(x),省略a时，默认a=0。

(3)right为右极限，left为左极限，省略时表示左右极限相等。

(4)limit可以嵌套使用。

例：求极限limx→axm−amx−alim_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt[m]{x}-\sqrt[m]{a}}{x-a}limx→ax−amx−ma

syms x m a
limit((x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a),x,a)

4、求导数的指令为diff

用法：F=diff(f,'x’n)

(1)f为函数或函数矩阵的符号或字符表达式

(2)x为指定的函数求导自变量，缺省时默认为x或t。

(3)n为求导的阶数，缺省时默认n=1，此时输出f的一阶导函数。

(4)输出量F为函数f对变量x的n阶导函数。

若明确指出不同的求导自变量，则该指令可用于求多元函数的偏导数。

例：已知函数矩阵A(x)=(lna−xa+xarcsinx−1x+1x2x1−x)A(x)=\begin{pmatrix} ln\sqrt{\frac{a-x}{a+x}} & arcsin\frac{x-1}{x+1} \\ x^{2x} & \sqrt{1-x} &\end{pmatrix}A(x)=(lna+xa−xx2xarcsinx+1x−11−x),求出每个元素对x的二阶导数。

syms a x
A = [log(sqrt((a-x)/(a+x))),asin((x-1)/(x+1));x^(2*x),sqrt(1-x)];
A2=diff(A,2);
disp('A"(x)='),pretty(simplify(A2))

若要求出x=a时上述二阶导数的值，可用subs(A2,x,a)指令得出

例：设z=x2y−xy2z=x^2y-xy^2z=x2y−xy2,其中x=ucosvx=ucosvx=ucosv,y=usinvy=usinvy=usinv,求∂z∂v\frac{\partial{z}}{\partial{v}}∂v∂z和∂z∂u\frac{\partial{z}}{\partial{u}}∂u∂z。

下面代码有问题

syms x y z=x^2*y-x*y^2;
z1=subs(z,'x','u*cos(v)');
z2=subs(z1,'y','u*sin(v)');
o=diff(z2,'u')

5、求积分的指令为int

用法：s=int(f,x,a,b)

(1)f为被积函数的符号表达式，或其矩阵。

(2)x为积分变量，若被积函数中只有一个变量。则可以省略。

(3)a,b为定积分分别为定积分上下限，缺少时输出被积函数的原函数

(4)int指令可以嵌套多次使用，从而可用于计算多重积分。

例：计算定积分f(x)=∫0π33xydyf(x)=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}3x^ydyf(x)=∫03π3xydy

syms x y
s=int(3*x^y,y,0,pi/3)

例：求二重不定积分y(x,t)=∬t2e−2txdtdxy(x,t)=\iint{t^2e^{-2tx}dtdx}y(x,t)=∬t2e−2txdtdx.

syms t x c1 c2
y=int(int(t^2*exp(-3*t*x),t)+c1,x)+c2

例：计算广义积分S=∫−∞∞11+t2dtS=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+t^2}dtS=∫−∞∞1+t21dt。

syms t
S=int(1/(1+t^2),-inf,inf)

8、求解一阶偏微分方程

利用MATLAB中pdepe函数求解一般的偏微分方程组-百度经验 (baidu.com)

9、定义全局变量

global函数

用法

clc;clear
global a
a=5