/*仅当作学习笔记，若有纰漏欢迎友好交流指正，此外若能提供一点帮助将会十分荣幸*/

前面的几篇博文我们提到提到的都是整数阶模型，这里我们将对分数阶模型进行一个简单的研究。

摘要：与整数阶混沌相比，分数阶混沌更符合、也更接近于现实世界。本文将研究经典Duffing系统的迭代方式、系统参数选择对混沌的影响，并通过MATLAB呈现出其混沌、相图以及庞加莱截面以达到对该系统的全面认识。

0 引言

1 分数阶Duffing系统

1.1系统的构造

1.2 系统混沌图

2 Duffing系统相图

2.1系统相图

2.2系统大周期相图

2.3系统混沌相图

3 Duffing系统庞加莱截面

4 总结

参考文献

0 引言

分数阶微积分已有300的历史，自然界的物理现象大多以分数阶的形式存在，整数阶微分方程正好是分数阶微分方程的特例.整数阶模型相比，分数阶模型更接近真实的世界，具有更诱人的发展前景，近年来已得到了越来越多的关注值得注意的是，与只有固定翼混沌吸引子的分数阶混沌系统相比，具有多种多翼混沌吸引子共存的分数阶混沌系统显示出更复杂的动力学行为和更好的性能。在安全通信以及图像加密领域，此类分数阶混沌系统具有更高的序列复杂度以及更大的密钥空间，提高了系统安全性能。因此，发现和构造具有多种多翼混沌吸引子共存的低维分数阶混沌系统具有更大的价值，Zhou等人基于四翼整数阶忆阻混沌系统，构造了相应的分数阶忆阻系统，出现三翼与三翼与四翼共存吸引子共存；Xian等人构造了一个双翼与四翼混沌吸引子共存的分数阶混沌系统。目前，构造具有更多种多翼混沌吸引子共存的分数阶系统仍然是一个挑战。

而本文基于经典的Duffing系统，对其进行仿真，得到其混沌、相图以及庞加莱截面，基于此讨论其系统参数对于系统混沌状况的影响。

1 分数阶Duffing系统

1.1系统的构造

混沌检测是以混屯系统对参数的敏感性,对噪声的免疫性,周期摄动对混沌的抑制性为基石,从本质上区别于传统的检测方法,突破了原有的限制,达到了极低的检测门限。因此利用混沌振子检测微弱周期信的方法是近年来兴起的一个新的研究方向，考虑到分数阶系统对微弱信号检测具有独特的优势,采用分数阶混沌系统对间歇故障进行检测,其中经典的Duffing-Homes方程为 :

对于信号检测混沌系统如果其恢复力项由

改为：

则方程变为：

式中阻尼项系数k为0.5 ,构成一个耗散系统。同时适当选取系统的分数阶数可以获得更低的检测门限,将式(2)转化为 :

式中D表示一阶微分算子D^2则表示二阶微分算子。将分数阶引入方程,将式( 3 ) 中的一阶微分算子变成分数阶,得:

由分数算子的性质,可将式(4)转换为含有分数阶的方程组。

采用A. Charef 等人研究的图形逼近方法来进行计算,经过比较采用门限值较低的分数阶系统(即q=0.5)作为检测的混屯系统用来进行幅值检测,其表达式为:

针对分数阶数q=0.5、k=0.5、w=1的Duffing系统,其初值选取x=0,x一阶导为0，当系统内置信号振幅γ从小到大发生改变时,系统状态也在周期与混沌状态之间发生着有规律的变化。

1.2 系统混沌图

根据系统特性设计利用matlab进行迭代，其程序如下：

n=1;
a=0.5;%分数阶选择
t=0:0.001:1; %步长的选择
for j=1:length(t)x=(j/1000)^2;N=factorial(n);%n的阶乘dx=N/((n-a)*sqrt(pi))*x^(n-a);%x关于t求导后的表达式值y=[x,dx];yy=Duffing1(j, y)plot(j,yy(1),'*');hold on;plot(j,yy(2),'.k');hold on;plot(j,yy(3),'.b');
end
legend('y(t)','z(t)','dz/dt')
子函数：
function ydot = Duffing1(t, y)
ydot=zeros(size(y));
ydot(1) = y(2);%y,关于x求导
ydot(2) = 1/(0.5*sqrt(pi))*y(2)^0.5;%z,阶数直接设为0.5
ydot(3) = 0.45*cos(1*t)-0.5*y(2)+y(1)^3-y(1)^5; %dz/dt
end

得系统中各参数迭代仿真图：

我们可以看到，图中蓝点绘制的‘dz/dt’对应图像出现明显的混沌状况。

2 Duffing系统相图

在Duffing系统中，不同的状态有不同的相图特征，具有代表性的状态为混沌状态和大尺度周期状态：混沌状态下系统相图曲线混乱，毫无规律可循；在大尺度周期状态下相图曲线规律，相轨迹封闭。

2.1系统相图

根据1章中的系统的迭代求解，对其改造可以得该系统相图的matlab程序为：

主函数：
%系统相图
function f1
tt=2*pi/1;
[t,x]=ode45(@Duffing3,[0:tt/100:10*tt],[0,0,0]);
figure
plot(x(200:end,1),x(200:end,3))
xlabel('x');ylabel('dz/dt')
子函数：
%x与dz/dt之间
function ydot = Duffing3(t, x)
n=1;
a=0.5;%分数阶选择
ydot=zeros(size(x));
ydot(1) = x(3);%x
ydot(2) = factorial(n)/((n-a)*sqrt(pi))*x(1)^(n-a);%y
ydot(3) = 0.042*cos(1*t)-0.5*(ydot(2))+x(1)^3-x(1)^5; %dz/dt，系统振幅取0.042
end

可得相图：

2.2系统大周期相图

当系统内置信号振幅γ=0.01时，可到到如下仿真相图：

从仿真图我们可以看到大尺度周期状态下的相图曲线规律，相轨迹封闭。

2.3系统混沌相图

当系统内置信号振幅γ=0.1时，可到到如下仿真相图：

从仿真图我们可以看到在混沌状态下系统相图曲线混乱。

3 Duffing系统庞加莱截面

庞加莱截面(Poincare surface of section)由Poincare于十九世纪末提出，用来对多变量自治系统的运动进行分析。

其基本思想是在多维相空间中适当选取一截面，在此截面上某一对共扼变量取固定值，称此截面为Poincar截面。

观测运动轨迹与此截面的截点( Poincare点)，设它们依次为P1,P2,P3…。原来相空间的连续轨迹在Poincare截面上便表现为一些离散点之间的映射Pn。由它们可得到关于运动特性的信息。如不考虑初始阶段的暂态过渡过程，只考虑Poincare截面的稳态图像，当Poincare截面上只有一个不动点和少数离散点时，可判定运动是周期的;当Poincare截面上是一封闭曲线时，可判定运动是准周期的;当Poincare截面上是成片的密集点，且有层次结构时，可判定运动处于混沌状态。

其matlab程序为：

主函数：
%庞加莱截面
function f1
tt=2*pi/1;
[t,x]=ode45(@Duffing3,[0:tt/100:10*tt],[0,0,0]);
figure
i=200:10:500;
plot(x(i,1),x(i,3),'*')
子函数：
function ydot = Duffing3(t, x)
n=1;
a=0.5;%分数阶选择
ydot=zeros(size(x));
ydot(1) = x(3);%x
ydot(2) = factorial(n)/((n-a)*sqrt(pi))*x(1)^(n-a);%y
ydot(3) = 0.01*cos(1*t)-0.5*(ydot(2))+x(1)^3-x(1)^5; %dz/dt
end

得到庞加莱图：

而当系统内置信号振幅取0.1时得庞加莱图：

4 总结

本文以Duffing系统为例，从其混沌状态仿真、相图以及庞加莱截面入手，较为全面的展示了该系统的迭代特性，我们也可以看到系统内置信号振幅γ对系统的影响，当信号振幅γ的值变化时，系统图像也呈现出混沌、大周期的状态。

参考文献

张立新,杨玉洁,贾文敬.一类Caputo分数阶微分方程积分边值问题的正解.四川大学学报：自然科学版,2017,54(6):1169-1172.
徐昌彪,何颖辉,吴霞,莫运辉.多种多翼吸引子共存的新型三维分数阶混沌系统.哈尔滨工业大学学报,2020,52(5):92-98.
高丙朋,王维庆.分数阶混沌系统风机间歇故障变幅值检测方法.电测与仪表,2020,57(4):114-121.

基于Duffing系统的分数阶混沌研究【基于matlab的动力学模型学习笔记_5】相关推荐

一维离散动力学系统的混沌研究【基于matlab的动力学模型学习笔记_8】
摘要:混沌(Chaos)是指发生在确定系统中的貌似随机的不规则运动,本文将基于几种经典的一维动力学方程系统,根据其动力学方程研究其混沌产生过程以及相对应的MATLAB仿真. /*仅当作学习笔记,若有 ...
二维离散动力学系统的混沌研究【基于matlab的动力学模型学习笔记_9】
摘要:混沌(Chaos)是指发生在确定系统中的貌似随机的不规则运动,本文将基于经典的二维系统,然后根据动力学方程研究其混沌产生过程以及相对应的MATLAB仿真,再讨论Lyapunov指数以及正平衡点 ...
带时滞的病毒模型计算模板【基于matlab的动力学模型学习笔记_1】
/*仅当作学习笔记,若有纰漏欢迎友好交流指正,此外若能提供一点帮助将会十分荣幸*/ 摘要:无论是生物病毒还是网络病毒,其内核的传播机理都有很多的相似之处.因此,本文在经典的SIR病毒模型基础上改造出 ...
基于传染病模型中的再生数R0的讨论【基于matlab的动力学模型学习笔记_2】
/*仅当作学习笔记,若有纰漏欢迎友好交流指正,此外若能提供一点帮助将会十分荣幸*/ 在上一篇博文中介绍了病毒模型的基本计算思路方法,而本文将会重点讨论基本再生数R0-这个决定病毒是继续发展还是衰减的关 ...
双时滞四维捕食网络的分析【基于matlab的动力学模型学习笔记_6】
/*仅当作学习笔记,若有纰漏欢迎友好交流指正,此外若能提供一点帮助将会十分荣幸*/ 本系列谈论过单时滞,但还没提及过双时滞,本文将着重介绍一种双时滞系统并对其进行简单处理分析. 摘要:本文针对一个捕 ...
lyapunov指数求取时运用qr法与jacobi法之间的区别与联系【基于matlab的动力学模型学习笔记_10】
在进行lyapunov指数的求取时,需要知道离散动力学系统对应Jacobi矩阵的特征值,qr法与Jacobi法都可以求解矩阵特征值,其中qr法求解的是矩阵所有特征值,而Jacobi法求解的是矩阵的最大 ...
caputo分数阶导数程序_基于Caputo导数的分数阶非线性振动系统响应计算
基于 Caputo 导数的分数阶非线性振动系统响应计算李亚杰 1,2 , 吴志强 *1,2 , 章国齐 1,2 [摘要] 摘要 : 研究了含分数阶 Caputo 导数的非线性振动系统响应的数值计 ...
【控制】基于灰狼算法改进分数阶PD滑模控制器附matlab代码
1 内容介绍分数微积分已经被研究了将近 3 个世纪,并且已经被科学家广泛应用到科学与控制工程领域中.分数阶 PID 控制系统是由斯洛伐克学者 Podlubny于 1994 年提出,并应用于分数阶 ...
基于C语言的分数阶微分方程,基于分数阶C~α空间的积分微分方程的配置解法
摘要: 分数阶积分微分方程是在处理实际问题时应运而生,在工程模型和物理现象中极其常见,比如化学反应扩散,弹性力学,热传导方面,种群生态模型,控制理论和生物化学等.近年来,随着科学技术的迅猛发展,分数阶 ...

基于Duffing系统的分数阶混沌研究【基于matlab的动力学模型学习笔记_5】

0 引言

1 分数阶Duffing系统

1.1系统的构造

1.2 系统混沌图

2 Duffing系统相图

2.1系统相图

2.2系统大周期相图

2.3系统混沌相图

3 Duffing系统庞加莱截面

4 总结

参考文献

基于Duffing系统的分数阶混沌研究【基于matlab的动力学模型学习笔记_5】相关推荐

最新文章

热门文章