随机微分方程学习笔记03 Fisk-Stratonovich积分

V:={Y:Y为实值随机过程，Ft−适合，可测，且满足∥Y∥V:=(∫0∞E[Y(t)2]dt})12<∞}V:=\{Y:Y为实值随机过程，\mathscr{F}_t-适合，可测，且满足\|Y\|_{V}:=\left(\int_{0}^{\infty}\mathbb{E}\left[Y(t)^2\right]\mathrm{d}t\}\right)^{\frac{1}{2}}<\infty\}V:={Y:Y为实值随机过程，Ft−适合，可测，且满足∥Y∥V:=(∫0∞E[Y(t)2]dt})21<∞} ∀Y∈V\forall Y\in V∀Y∈V定义∫0TY(t)∘dW(t):=lim⁡∣Π∣→0∑ti∈Π12(Y(ti+1+Yi))(W(ti+1)−W(ti)).\int_{0}^{T}Y(t)\circ\mathrm{d}W(t):=\lim_{|\Pi|\to 0}\sum_{t_i\in\Pi}\frac{1}{2}\left(Y(t_{i+1}+Y_{i})\right)\left(W(t_{i+1})-W({t_i})\right).∫0TY(t)∘dW(t):=∣Π∣→0limti∈Π∑21(Y(ti+1+Yi))(W(ti+1)−W(ti)).其中Π\PiΠ是[0,T][0,T][0,T]上的划分，0=t0<t1<⋯<tn−1<tn=T0=t_0<t_1<\dots<t_{n-1}<t_n=T0=t0<t1<⋯<tn−1<tn=T，∣Π∣=max⁡i(ti+1−ti)|\Pi|=\max_i(t_{i+1}-t_i)∣Π∣=maxi(ti+1−ti)。

定理：对任意的被积函数Y∈VY\in VY∈V，在概率意义上lim⁡∣Π∣→0∑ti∈Π12(Y(ti+1)+Y(ti))(W(ti+1)−W(ti))=∫0TY(t)dW(t)+12<Y,W>T.\lim_{|\Pi|\to 0}\sum_{t_i\in \Pi}\frac{1}{2}\left(Y(t_{i+1})+Y(t_i)\right)\left(W(t_{i+1})-W(t_i)\right)=\int_{0}^{T}Y(t)\mathrm{d}W(t)+\frac{1}{2}\left<Y,W\right>_T.∣Π∣→0limti∈Π∑21(Y(ti+1)+Y(ti))(W(ti+1)−W(ti))=∫0TY(t)dW(t)+21⟨Y,W⟩T.

注意到Fisk-Stratonovich积分是线性的，但不是鞅。

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