条件期望下的Jensen不等式（一维）

Jensen不等式 ：φ:R→R\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}φ:R→R，凸函数（φ\varphiφ为有限凸）。若XXX及φ(X)\varphi(X)φ(X)为随机变量，满足E[∣X∣]<∞\mathbb{E}[|X|]<\inftyE[∣X∣]<∞，E[∣φ(X)∣]<∞\mathbb{E}[|\varphi(X)|]<\inftyE[∣φ(X)∣]<∞，则φ(E[X∣G])≤E[φ(X)∣G]\varphi(\mathbb{E}[X|\mathscr{G}])\le\mathbb{E}[\varphi(X)|\mathscr{G}]φ(E[X∣G])≤E[φ(X)∣G]。特别地φ(E[X])≤E[φ(X)]\varphi(\mathbb{E}[X])\le \mathbb{E}[\varphi(X)]φ(E[X])≤E[φ(X)]。

一个应用：设(Xn,Fn)n≥0(X_n,\mathscr{F}_n)_{n\ge 0}(Xn,Fn)n≥0是鞅，则∀p≥0\forall p\ge 0∀p≥0，(∣Xn∣p,Fn)n≥0(|X_n|^p,\mathscr{F}_n)_{n\ge 0}(∣Xn∣p,Fn)n≥0是下鞅。
“证”：∣E[Xn∣Fs]∣p≤E[∣Xn∣p∣Fs]∣Xs∣p≤E[∣Xn∣p∣Fs]\begin{aligned} &\left|\mathbb{E}[X_n|\mathscr{F}_s]\right|^p\le\mathbb{E}[\left|X_n\right|^p|\mathscr{F}_s]\\ &|X_s|^p\le\mathbb{E}[\left|X_n\right|^p|\mathscr{F}_s] \end{aligned}∣E[Xn∣Fs]∣p≤E[∣Xn∣p∣Fs]∣Xs∣p≤E[∣Xn∣p∣Fs] □.\Box.□.

选择停时定理(optional stopping theorem)

离散格式：设X=(Xt)t∈N0X=(X_t)_{t\in\mathbb{N}_0}X=(Xt)t∈N0是一个离散时间鞅 / 上鞅 / 下鞅，τ∈N0∪{∞}\tau\in\mathbb{N}_0\cup\{\infty\}τ∈N0∪{∞}是一个停时。若以下三个条件满足一个：

∃c∈N,s.t.,τ≤ca.s.\exist c\in\mathbb{N},s.t. ,\tau\le c\quad a.s.∃c∈N,s.t.,τ≤ca.s.；
E[τ]<∞\mathbb{E}\left[\tau\right]<\inftyE[τ]<∞，∃c,s.t.∀t∈N0,E[∣Xt+1−Xt∣∣Ft]≤c\exist c,s.t.\forall t\in\mathbb{N}_0,\mathbb{E}\left[|X_{t+1}-X_t|\mid\mathscr{F}_t\right]\le c∃c,s.t.∀t∈N0,E[∣Xt+1−Xt∣∣Ft]≤c在{τ>t}\{\tau> t\}{τ>t}上几乎处处成立；
∃c,s.t.∀t∈N0,∣Xτ∧t∣≤c,a.s.\exist c,s.t.\forall t\in \mathbb{N}_0,|X_{\tau \wedge t}|\le c,a.s.∃c,s.t.∀t∈N0,∣Xτ∧t∣≤c,a.s..

则XτX_{\tau}Xτ是一个几乎处处良定义的随机变量，且E[Xτ]=E[X0]\mathbb{E}[X_\tau]=\mathbb{E}[X_0]\quadE[Xτ]=E[X0] / E[Xτ]≥E[X0]\quad\mathbb{E}[X_\tau]\ge\mathbb{E}[X_0]\quadE[Xτ]≥E[X0] / E[Xτ]≤E[X0]\quad\mathbb{E}[X_\tau]\le\mathbb{E}[X_0]E[Xτ]≤E[X0]。

【当一个鞅或者上鞅或者下鞅的停时满足一定条件的时候，停时时刻的随机变量的期望能被初始时刻随机变量的期望给控制住。】

Doob鞅不等式(Doob’s martingale inequality)

定理：设(Xn,Fn)0≥n≥N(X_n,\mathscr{F}_n)_{0\ge n\ge N}(Xn,Fn)0≥n≥N是鞅，则对任意p≥1p\ge 1p≥1和λ>0\lambda >0λ>0有λpP(sup⁡0≤n≤N∣Xn∣≥λ)≤E[∣XN∣p],\lambda^p\mathbb{P}\left(\sup_{0\le n\le N}|X_n|\ge \lambda\right)\le \mathbb{E}\left[|X_N|^p\right],λpP(0≤n≤Nsup∣Xn∣≥λ)≤E[∣XN∣p],对任意p>1p>1p>1，E[sup⁡0≤n≤N∣Xn∣p]≤(pp−1)pE[∣XN∣p].\mathbb{E}\left[\sup_{0\le n\le N}|X_n|^p\right]\le\left(\frac{p}{p-1}\right)^p\mathbb{E}\left[|X_N|^p\right].E[0≤n≤Nsup∣Xn∣p]≤(p−1p)pE[∣XN∣p].

【一个鞅，前面的随机变量的绝对值超过某个正数的可能性，会被，最后一个随机变量的绝对值的p次方的期望除以该正数的p次方，控制住，前面的随机变量的绝对值的p次方的期望，也能被，最后一个随机变量的绝对值的p次方的期望再乘和p有关的常数，控制住。】

证：设停时τ:=inf⁡{n∣∣Xn∣>λ}∧N.\tau:=\inf\{n\mid |X_n|>\lambda\}\wedge N.τ:=inf{n∣∣Xn∣>λ}∧N.E[∣XN∣p]=E[E[∣XN∣p∣F0]]≥E[∣X0∣p]【上鞅】≥E[∣Xτ∣p]【选择停时定理】≥λpP(sup⁡n∣Xn∣≥λ)+E[∣XN∣p1{sup⁡n∣Xn∣<λ}]【τ的定义】\begin{aligned} \mathbb{E}\left[\left|X_N\right|^p\right]&=\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[|X_N|^p\mid \mathscr{F}_0\right]\right]\\ &\ge\mathbb{E}[|X_0|^p]【上鞅】\\ &\ge\mathbb{E}[|X_\tau|^p]【选择停时定理】\\ &\ge \lambda^p\mathbb{P}(\sup_n |X_n|\ge \lambda)+\mathbb{E}[|X_N|^{p}\mathrm{1}_{\{\sup_n|X_n|<\lambda\}}]【\tau的定义】 \end{aligned}E[∣XN∣p]=E[E[∣XN∣p∣F0]]≥E[∣X0∣p]【上鞅】≥E[∣Xτ∣p]【选择停时定理】≥λpP(nsup∣Xn∣≥λ)+E[∣XN∣p1{supn∣Xn∣<λ}]【τ的定义】证明了第一个不等式。对任意的K>0K>0K>0，p>1p>1p>1，E[(sup⁡n∣Xn∣∧K)p]=E[∫0Kpλp−11{sup⁡n∣Xn∣≥λ}dλ]≤∫0Kpλp−2E[∣XN∣1{sup⁡n∣Xn∣≥λ}]dλ【∗具体理解一下这一步，后面会写】=pE[∣XN∣∫0sup⁡n∣Xn∣∧Kλp−2dλ]=pp−1E[∣XN∣(sup⁡n∣Xn∣∧K)p−1]≤pp−1E[(sup⁡n∣Xn∣∧K)p](p−1)/pE[∣XN∣p]1/p.【Holder不等式】\begin{aligned} \mathbb{E}\left[\left(\sup_n|X_n|\wedge K\right)^p\right]&=\mathbb{E}\left[\int_0^{K}p\lambda^{p-1}\mathrm{1}_{\{\sup_n|X_n|\ge\lambda\}}\mathrm{d}\lambda\right]\\ &\le \int_0^{K}p\lambda^{p-2}\mathbb{E}\left[|X_N|\mathrm{1}_{\{\sup_n|X_n|\ge\lambda\}}\right]\mathrm{d}\lambda【*具体理解一下这一步，后面会写】\\ &=p\mathbb{E}\left[|X_N|\int_0^{\sup_n|X_n|\wedge K}\lambda^{p-2}\mathrm{d}\lambda\right]\\ &=\frac{p}{p-1}\mathbb{E}[|X_N|(\sup_n|X_n|\wedge K)^{p-1}]\\ &\le \frac{p}{p-1}\mathbb{E}\left[\left(\sup_n|X_n|\wedge K\right)^p\right]^{(p-1)/p}\mathbb{E}\left[|X_N|^p\right]^{1/p}.【Holder不等式】 \end{aligned}E[(nsup∣Xn∣∧K)p]=E[∫0Kpλp−11{supn∣Xn∣≥λ}dλ]≤∫0Kpλp−2E[∣XN∣1{supn∣Xn∣≥λ}]dλ【∗具体理解一下这一步，后面会写】=pE[∣XN∣∫0supn∣Xn∣∧Kλp−2dλ]=p−1pE[∣XN∣(nsup∣Xn∣∧K)p−1]≤p−1pE[(nsup∣Xn∣∧K)p](p−1)/pE[∣XN∣p]1/p.【Holder不等式】整理并让K→∞K\to\inftyK→∞ E[sup⁡0≤n≤N∣Xn∣p]≤(pp−1)pE[∣XN∣p].\mathbb{E}\left[\sup_{0\le n\le N}|X_n|^p\right]\le\left(\frac{p}{p-1}\right)^p\mathbb{E}\left[|X_N|^p\right].E[0≤n≤Nsup∣Xn∣p]≤(p−1p)pE[∣XN∣p]. □.\Box.□.
【∗*∗ 的理解】：E[∣XN∣1{sup⁡n∣Xn∣≥λ}]=∑i=0NE[∣XN∣1{∣X∣i∣≥λ,∣Xj∣<λ(j<i)}]=∑i=0NE[E[∣XN∣∣Fi]1{∣X∣i∣≥λ,∣Xj∣<λ(j<i)}]【把1{∣X∣i∣≥λ,∣Xj∣<λ(j<i)}看作Fi上的一个有界Borel函数,利用条件概率的定义得到】≥∑i=0NE[∣Xi∣1{∣X∣i∣≥λ,∣Xj∣<λ(j<i)}]【∣Xn∣是下鞅】≥∑i=0NλE[1{∣X∣i∣≥λ,∣Xj∣<λ(j<i)}]=λE[1{sup⁡n∣Xn∣≥λ}].\begin{aligned} \mathbb{E}\left[|X_N|\mathrm{1}_{\{\sup_n|X_n|\ge \lambda\}}\right]&=\sum_{i=0}^{N}\mathbb{E}\left[|X_N|\mathrm{1}_{\{|X|_i|\ge \lambda,|X_j|<\lambda(j<i)\}}\right]\\ &=\sum_{i=0}^{N}\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[|X_N|\mid\mathscr{F}_{i}\right]\mathrm{1}_{\{|X|_i|\ge \lambda,|X_j|<\lambda(j<i)\}}\right]\\ &【把\mathrm{1}_{\{|X|_i|\ge \lambda,|X_j|<\lambda(j<i)\}}看作\mathscr{F}_i上的一个有界Borel函数,利用条件概率的定义得到】\\ &\ge\sum_{i=0}^{N}\mathbb{E}\left[|X_i|\mathrm{1}_{\{|X|_i|\ge \lambda,|X_j|<\lambda(j<i)\}}\right]【|X_n|是下鞅】\\ &\ge\sum_{i=0}^{N}\lambda\mathbb{E}[\mathrm{1}_{\{|X|_i|\ge \lambda,|X_j|<\lambda(j<i)\}}]=\lambda\mathbb{E}[\mathrm{1}_{\{\sup_n|X_n|\ge \lambda\}}]. \end{aligned}E[∣XN∣1{supn∣Xn∣≥λ}]=i=0∑NE[∣XN∣1{∣X∣i∣≥λ,∣Xj∣<λ(j<i)}]=i=0∑NE[E[∣XN∣∣Fi]1{∣X∣i∣≥λ,∣Xj∣<λ(j<i)}]【把1{∣X∣i∣≥λ,∣Xj∣<λ(j<i)}看作Fi上的一个有界Borel函数,利用条件概率的定义得到】≥i=0∑NE[∣Xi∣1{∣X∣i∣≥λ,∣Xj∣<λ(j<i)}]【∣Xn∣是下鞅】≥i=0∑NλE[1{∣X∣i∣≥λ,∣Xj∣<λ(j<i)}]=λE[1{supn∣Xn∣≥λ}].

推论1(Doob’s LpL^pLp-inequality)：设(X(t),Ft)t∈I(X(t),\mathscr{F}_t)_{t\in I}(X(t),Ft)t∈I是一个右连续的鞅，I⊂RI\subset \RI⊂R，则∀p>1\forall p>1∀p>1 E[sup⁡t∈I∣X(t)∣p]1/p≤pp−1sup⁡t∈IE[∣X(t)p∣]1/p.\mathbb{E}\left[\sup_{t\in I}|X(t)|^p\right]^{1/p}\le \frac{p}{p-1}\sup_{t\in I}\mathbb{E}\left[|X(t)^p|\right]^{1/p}.E[t∈Isup∣X(t)∣p]1/p≤p−1pt∈IsupE[∣X(t)p∣]1/p.
证：由于X(t)X(t)X(t)右连续，所以在III求上确界可以找一个可数集DDD来代替，D=∪nDnD=\cup_{n}D_nD=∪nDn，D1⊂D2⊂…D_1\sub D_2\sub\dotsD1⊂D2⊂…，DnD_nDn是有限集。在DnD_nDn上考虑就可以用Doob鞅不等式了E[sup⁡t∈Dn∣X(t)∣p]1/p≤pp−1E[∣X(tkn)∣]1/p≤pp−1sup⁡t∈IE[∣X(t)p∣]1/p\mathbb{E}\left[\sup_{t\in D_n}|X(t)|^p\right]^{1/p}\le \frac{p}{p-1}\mathbb{E}\left[|X(t_{k_n})|\right]^{1/p}\le\frac{p}{p-1}\sup_{t\in I}\mathbb{E}\left[|X(t)^p|\right]^{1/p}E[t∈Dnsup∣X(t)∣p]1/p≤p−1pE[∣X(tkn)∣]1/p≤p−1pt∈IsupE[∣X(t)p∣]1/p其中tknt_{k_n}tkn是DnD_nDn中最大的ttt。再利用单调收敛定理得到E[sup⁡t∈D∣X(t)∣p]1/p≤pp−1sup⁡t∈IE[∣X(t)p∣]1/p\mathbb{E}\left[\sup_{t\in D}|X(t)|^p\right]^{1/p}\le\frac{p}{p-1}\sup_{t\in I}\mathbb{E}\left[|X(t)^p|\right]^{1/p}E[supt∈D∣X(t)∣p]1/p≤p−1psupt∈IE[∣X(t)p∣]1/p，所以要求的式子就能得证了。□.\Box.□.

回顾一下定义，我们Ito积分就是定义在VVV上的V:={Y:Y为实值随机过程，Ft−适合，可测，且满足∥Y∥V:=(∫0∞E[Y(t)2]dt})12<∞}V:=\{Y:Y为实值随机过程，\mathscr{F}_t-适合，可测，且满足\|Y\|_{V}:=\left(\int_{0}^{\infty}\mathbb{E}\left[Y(t)^2\right]\mathrm{d}t\}\right)^{\frac{1}{2}}<\infty\}V:={Y:Y为实值随机过程，Ft−适合，可测，且满足∥Y∥V:=(∫0∞E[Y(t)2]dt})21<∞}

推论2：∀X∈V,∃\forall X\in V,\exist∀X∈V,∃一个连续过程(J(t),t≥0)(J(t),t\ge 0)(J(t),t≥0)使得∀t≥0\forall t\ge 0∀t≥0 P(J(t)=∫0tX(s)dW(t))=1.\mathbb{P}\left(J(t)=\int_0^{t}X(s)\mathrm{d}W(t)\right)=1.P(J(t)=∫0tX(s)dW(t))=1.
证：设(Xn)n≥1(X_n)_{n\ge 1}(Xn)n≥1是VVV中逼近XXX的一列简单过程，定义In(t):=∫0tXn(s)dW(s)I_n(t):=\int_0^{t}X_n(s)\mathrm{d}W(s)In(t):=∫0tXn(s)dW(s)，根据Ito积分的性质知道In(t)I_n(t)In(t)连续，是Ft\mathscr{F}_tFt鞅，根据Doob鞅不等式（p=2p=2p=2）得到E[sup⁡t≥0∣Im(t)−In(t)∣2]≤4sup⁡t≥0E[∣Im(t)−In(t)∣2]【Doob鞅不等式】=4∥Xm−Xn∥V2【Ito等距】→0(m,n→∞)\begin{aligned} \mathbb{E}\left[\sup_{t\ge 0}|I_m(t)-I_n(t)|^2\right]&\le 4\sup_{t\ge 0}\mathbb{E}\left[|I_m(t)-I_n(t)|^2\right]【Doob鞅不等式】\\ &=4\|X_m-X_n\|_V^{2}【Ito等距】\to 0(m,n\to \infty) \end{aligned}E[t≥0sup∣Im(t)−In(t)∣2]≤4t≥0supE[∣Im(t)−In(t)∣2]【Doob鞅不等式】=4∥Xm−Xn∥V2【Ito等距】→0(m,n→∞)然后用Chebyshev不等式和Borel-Cantelli引理得到(In)(I_n)(In)是几乎处处一致收敛的，得到想要的结论。【但这里怎么得到这种一致收敛性我还不太明白】□.\Box.□.

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随机微分方程学习笔记02 Doob鞅不等式

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条件期望下的Jensen不等式（一维）

选择停时定理(optional stopping theorem)

Doob鞅不等式(Doob’s martingale inequality)

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