第一节　万有引力定律

[学习目标]

1.了解“地心说”和“日心说”的内容.

2.知道开普勒行星运动定律.

3.了解万有引力定律的发现过程

4.理解万有引力定律的内容、公式并能解答有关问题．

一、天体的运动

1．两种对立的但都是错误的学说：

地心说与日心说；日心说比地心说有进步但都还是错的。

局限性：都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的      运动．但计算所得数据和丹麦天文学家      的观测数据不符．

2．开普勒行星运动定律

(1)第一定律(又称轨道定律)：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是     ，太阳位于椭圆的一个      上．如图1所示．

(2)第二定律(又称面积定律)：行星和太阳之间的连线，在相等的时间内扫过           的面积．如图2所示．

　 图1

　　　　                 　　　　　　　　图2

(3)第三定律(又称周期定律)：行星绕太阳公转周期的    和轨道半长轴的     成     ，即＝k.其中a代表椭圆轨道的半长轴，T 代表公转周期，比值k是一个对所有行星都相同的常量．

二、万有引力定律

1．内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的．两个物体间引力的方向在它们的连线上，引力的大小跟它们的      成正比，跟它们之间的      成反比．

2．公式：

.

说明：(1)G为引力常数，其数值由英国科学家      测量得出，常取G＝                  N·m²/kg².

1. r为两个质点间的距离或质量均匀的两个球体的    之间的距离．

[即学即用]

1．判断下列说法的正误．

(1)太阳系中所有行星都绕太阳做椭圆运动，它们到太阳的距离各不相同．(  )

(2)太阳系中越是离太阳远的行星，运行周期就越大．(  )

(3)围绕太阳运动的各行星的速率是不变的．(  )

(4)不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力．(  )

(5)行星绕太阳运动的椭圆轨道可以近似地看作圆形轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力．(  )

(6)由F＝G知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大．(  )

2．两个质量都是1 kg的物体(可看成质点)，相距1 m时，两物体间的万有引力F＝________ N，一个物体的重力F′＝________ N，万有引力F与重力F′的比值为________．(已知引力常量G＝6.67×10^－11 N·m²/kg²，重力加速度g＝10 m/s²)．

一、对开普勒定律的理解

1．开普勒第一定律解决了行星轨道问题．

行星的运行轨道都是椭圆，不同行星轨道的半长轴不同，即各行星的椭圆轨道大小不同，但所有轨道都有一个共同的焦点，太阳在此焦点上．因此开普勒第一定律又叫焦点定律．

2．开普勒第二定律解决了行星绕太阳运动的速度大小问题．

(1)如图3所示，如果时间间隔相等，由开普勒第二定律知，面积S_A＝S_B，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大．因此开普勒第二定律又叫面积定律．

图3

(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点．同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小．

3．开普勒第三定律解决了行星周期的长短问题．

图4

(1)如图4所示，由

知椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长，因此第三定律也叫周期定律．常数k与行星无关，只与太阳有关．

(2)该定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，其中常数k与卫星无关，只与地球有关，也就是说k值大小由中心天体决定．

例1　(多选)关于行星绕太阳运动的说法正确的是(　　)

A．太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点

B．太阳系中的八大行星的轨道有的是圆形，并不都是椭圆

C．行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向

D．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直

答案　AC

解析　太阳系中的八大行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，而太阳位于八大行星椭圆轨道的一个公共焦点上，选项A正确，B错误；行星的运动是曲线运动，运动方向总是沿着轨道的切线方向，选项C正确；行星从近日点向远日点运动时，行星的运动方向和它与太阳连线的夹角大于90°，行星从远日点向近日点运动时，行星的运动方向和它与太阳连线的夹角小于90°，选项D错误．

例2　(多选)关于卫星绕地球的运动，根据开普勒定律，我们可以推出的正确结论有(　　)

A．人造地球卫星的轨道都是椭圆，地球在椭圆的一个焦点上

B．卫星绕地球运动的过程中，其速率与卫星到地心的距离有关，距离小时速率小

C．卫星离地球越远，周期越大

D．同一卫星绕不同的行星运动，的值都相同

答案　AC

解析　由开普勒第一定律知：所有地球卫星的轨道都是椭圆，且地球位于所有椭圆的公共焦点上，A正确；由开普勒第二定律知：卫星离地心的距离越小，速率越大，B项错误；由开普勒第三定律知：卫星离地球越远，周期越大，C正确；开普勒第三定律成立的条件是对同一行星的不同卫星，有＝常量，对于绕不同行星运动的卫星，该常数不同，D错误．

二、万有引力定律

[导学探究]　如图5所示，天体是有质量的，人是有质量的，地球上的其他物体也是有质量的．

图5

(1)任意两个物体之间都存在万有引力吗？为什么通常两个物体间感受不到万有引力，而太阳对行星的引力可以使行星围绕太阳运转？

(2)地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？

答案　(1)任意两个物体间都存在着万有引力．但由于地球上物体的质量一般很小(相比于天体质量)，地球上两个物体间的万有引力远小于地面对物体的摩擦力，通常感受不到，但天体质量很大，天体间的引力很大，对天体的运动起决定作用．

(2)相等．它们是一对相互作用力．

[知识深化]

1．万有引力定律表达式

，式中G为引力常量．G＝6.67×10^－11 N·m²/kg²，由英国科学家卡文迪许在实验室中比较准确地测出．

测定G值的意义：(1)证明了万有引力定律的存在；(2)使万有引力定律有了真正的实用价值．

2．万有引力定律的适用条件

(1)在以下三种情况下可以直接使用万有引力公式计算：

①求两个质点间的万有引力：当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，公式中的r表示两质点间的距离．

②求两个均匀球体间的万有引力：公式中的r为两个球心间的距离．

③一个质量分布均匀的球体与球外一个质点的万有引力：r指质点到球心的距离．

(2)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据F＝G得出r→0时F→∞的结论而违背公式的物理含义．因为，此时由于r→0，物体已不再能看成质点，万有引力公式已不再适用．

(3)当物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出物体上每一个质点与另一个物体上所有质点间的万有引力，然后求合力．

例3　(多选)下列说法正确的是(　　)

A．万有引力定律公式适用于两质点间的作用力计算

B．据F＝G，当r→0时，物体m₁、m₂间引力F趋于无穷大

C．把质量为m的小球放在质量为M、半径为r 的大球球心处，则大球与小球间万有引力

D．两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可以用万有引力公式计算，r 是两球体球心间的距离

答案　AD

解析　万有引力定律适用于两质点间的相互作用，当两球体质量分布均匀时，可认为球体质量分布在球心，然后计算万有引力，故A、D项正确；当r→0时，两物体不能视为质点，万有引力定律不再适用，B项错误；大球M球心周围物体对小球m 的引力的合力为零，故C项错误．

万有引力的特点

1．万有引力的普遍性．万有引力不仅存在于星球间，任何客观存在的有质量的物体之间都存在着这种相互吸引力．

2．万有引力的相互性．两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用于两个物体上．

3．万有引力的宏观性．在通常情况下，万有引力非常小，只是在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，它的存在才有实际的物理意义．

例4　如图6所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m₁、m₂，半径大小分别为r₁、r₂，则两球间的万有引力大小为(　　)

图6

答案　D

解析　两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力公式可知两球间的万有引力应为D.

1．(对开普勒定律的认识)关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是(　　)

A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动

B．行星绕太阳运动时太阳位于行星椭圆轨道的焦点处

C．离太阳越近的行星运动周期越长

D．行星在某椭圆轨道上绕太阳运动的过程中，其速度与行星和太阳之间的距离有关，距离小时速度小，距离大时速度大

答案　B

解析　行星绕太阳运动的轨道是椭圆，并不是所有行星都在一个椭圆上，选项A错误；由开普勒第一定律可知，行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上，选项B正确；由开普勒第三定律可知

，故可知离太阳越远的行星，公转周期越长，选项C错误；由开普勒

第二定律可知，行星与太阳间的连线在相同时间内扫过的面积相等，故在近日点速度大，远日点速度小，选项D错误．

2．(开普勒三定律的应用)如图7所示是行星m绕恒星M运动情况的示意图，下列说法正确的是(　　)

图7

A．速度最大点是B 点

B．速度最小点是C点

C．m从A到B 做减速运动

D．m从B到A做减速运动

答案　C

3．(对万有引力定律的理解)(多选)关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是(　　)

A．不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力

B．只有能看作质点的两物体间的引力才能用F＝计算

C．由F＝知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大

D．万有引力常量的大小首先是由卡文迪许测出来的，且约等于6.67×10^－11 N·m²/kg²

答案　CD

解析　任何物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A错；两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用公式来计算，B错；物体间的万有引力与它们间距离r的二次方成反比，故r减小，它们间的引力增大，C对；引力常量G是由卡文迪许首先测出的，D对．

4．(万有引力定律的简单应用)两个完全相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F.若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两大铁球之间的万有引力为(　　)

A．2F   B．4F

C．8F   D．16F

答案　D

答案部分

一、天体的运动

1.匀速圆周．第谷

2．开普勒行星运动定律

(1)椭圆，焦点

(2)相同

(3)平方     立方      正比

二、万有引力定律

1．连线 ，     质量的乘积，   距离的二次方．

2．卡文迪许， G＝6.67×10^－11

(2) 球心

[即学即用]

1．判断下列说法的正误．

(1)(√)，(2)(√)，(3)(×)，4(×)，(5)(√)，(6)(√)

2．6.67×10^－11   ，10 ，    6.67×10^－12