前言Hilbert通常用来得到解析信号，基于此原理，Hilbert可以用来对窄带信号进行解包络，并求解信号的瞬时频率，但求解包括的时候会出现端点效应，本文对于这几点分别做了简单的理论探讨。

本文内容多有借鉴他人，最后一并附上链接。

一、基本理论

A-Hilbert变换定义

对于一个实信号x(t)x(t)，其希尔伯特变换为：

x~(t)=x(t)∗1πtx~(t)=x(t)∗1πt

式中*表示卷积运算。

Hilbert本质上也是转向器，对应频域变换为：

1πt⇔j⋅sign(ω)1πt⇔j⋅sign(ω)

即余弦信号的Hilbert变换时正弦信号，又有：

1πt∗1πt⇔j⋅sign(ω)⋅j⋅sign(ω)=−11πt∗1πt⇔j⋅sign(ω)⋅j⋅sign(ω)=−1

即信号两次Hilbert变换后是其自身相反数，因此正弦信号的Hilbert是负的余弦。

对应解析信号为：

z(t)=x(t)+jx~(t)z(t)=x(t)+jx~(t)

此操作实现了信号由双边谱到单边谱的转化。

B-Hilbert解调原理

设有窄带信号：

x(t)=a(t)cos[2πfst+φ(t)]x(t)=a(t)cos⁡[2πfst+φ(t)]

其中fsfs是载波频率，a(t)a(t)是x(t)x(t)的包络，φ(t)φ(t)是x(t)x(t)的相位调制信号。由于x(t)x(t)是窄带信号，因此a(t)a(t)也是窄带信号，可设为：

a(t)=[1+∑m=1MXmcos(2πfmt+γm)]a(t)=[1+∑m=1MXmcos⁡(2πfmt+γm)]

式中，fmfm为调幅信号a(t)a(t)的频率分量，γmγm为fmfm的各初相角。

对x(t)x(t)进行Hilbert变换，并求解解析信号，得到：

z(t)=ej[2πfs+φ(t)][1+∑m=1MXmcos(2πfmt+γm)]z(t)=ej[2πfs+φ(t)][1+∑m=1MXmcos⁡(2πfmt+γm)]

设

A(t)=[1+∑m=1MXmcos(2πfmt+γm)]A(t)=[1+∑m=1MXmcos⁡(2πfmt+γm)]

Φ(t)=2πfst+φ(t)Φ(t)=2πfst+φ(t)

则解析信号可以重新表达为：

z(t)=A(t)ejΦ(t)z(t)=A(t)ejΦ(t)

对比x(t)x(t)表达式，容易发现：

a(t)=A(t)=x2(t)+x~2(t)−−−−−−−−−−√a(t)=A(t)=x2(t)+x~2(t)

φ(t)=Φ(t)−2πfst=arctanx(t)x~(t)−2πfstφ(t)=Φ(t)−2πfst=arctan⁡x(t)x~(t)−2πfst

由此可以得出：对于窄带信号x(t)x(t)，利用Hilbert可以求解解析信号，从而得到信号的幅值解调a(t)a(t)和相位解调φ(t)φ(t)，并可以利用相位解调求解频率解调f(t)f(t)。因为：

f(t)=12πdφ(t)dt=12πdΦ(t)dt−fsf(t)=12πdφ(t)dt=12πdΦ(t)dt−fs

C-相关MATLAB指令hilbert功能：将实数信号x(n)进行Hilbert变换，并得到解析信号z(n).

调用格式：z = hilbert(x)instfreq功能：计算复信号的瞬时频率。

调用格式：[f, t] = insfreq(x,t)

示例：

二、应用实例

例1：给定一正弦信号，画出其Hilbert信号，直接给代码：

对应效果图：

例2：已知信号x(t)=(1+0.5cos(2π5t))cos(2π50t+0.5sin(2π10t))x(t)=(1+0.5cos⁡(2π5t))cos⁡(2π50t+0.5sin⁡(2π10t))，求解该信号的包络和瞬时频率。分析：根据解包络原理知：

信号包络：(1+0.5cos(2π5t))(1+0.5cos⁡(2π5t))

瞬时频率：2π50t+0.5sin(2π10t)2π2π50t+0.5sin⁡(2π10t)2π

那么问题来了，实际情况是：我们只知道x(t)x(t)的结果，而不知道其具体表达形式，这个时候，上文的推导就起了作用：可以借助信号的Hilbert变换，从而求解信号的包络和瞬时频率。

对应代码：

其中instfreq为时频工具包的代码，可能有的朋友没有该代码，这里给出其程序：

对应的结果图为：

可以看到信号的包络、瞬时频率，均已完成求解。

例3：例2中信号包络为规则的正弦函数，此处给定任意形式的包络(以指数形式为例)，并利用Hilbert求解包络以及瞬时频率，并给出对应的Hilbert谱。

程序：

对应结果图：

从结果可以观察，出了边界误差较大，结果值符合预期。对于边界效应的分析，见扩展阅读部分。注意：此处瞬时频率求解，没有用instfreq函数，扩展阅读部分对该函数作进一步讨论。

三、扩展阅读

A-瞬时频率求解方法对比

对于离散数据，通常都是用差分代替微分，因此瞬时频率也可根据概念直接求解。此处对比分析两种求解瞬时频率的方法，给出代码：

结果图：

可以看出，两种方式结果近似，但instfreq的结果更为平滑一些。

B-端点效应分析

对于任意包络，求解信号的包络以及瞬时频率，容易出现端点误差较大的情况，该现象主要基于信号中的Gibbs现象，限于篇幅，拟为此单独写一篇文章，具体请参考：Hilbert端点效应分析。

C-VMD、EMD

Hilbert经典应用总绕不开HHT(Hilbert Huang)，HHT基于EMD，近年来又出现了VMD分解，拟为此同样写一篇文章，略说一二心得，具体参考：EMD、VMD的一点小思考。

D-解包络方法

需要认识到，Hilbert不是解包络的唯一途径，低通滤波(LPF)等方式一样可以达到该效果，只不过截止频率需要调参。

给出一个Hilbert、低通滤波解包络的代码：

结果图：

效果是不是也不错？