作者：桂。

时间：2017-03-03  23:57:29

前言

Hilbert通常用来得到解析信号，基于此原理，Hilbert可以用来对窄带信号进行解包络，并求解信号的瞬时频率，但求解包括的时候会出现端点效应，本文对于这几点分别做了简单的理论探讨。

本文内容多有借鉴他人，最后一并附上链接。

一、基本理论

A-Hilbert变换定义

对于一个实信号$x(t)$，其希尔伯特变换为：

$\tilde x(t) = x(t) * \frac{1}{\pi t}$

式中*表示卷积运算。

Hilbert本质上也是转向器，对应频域变换为：

$\frac{1}{{\pi t}} \Leftrightarrow j\cdot \;sign(\omega )$

即余弦信号的Hilbert变换时正弦信号，又有：

$\frac{1}{{\pi t}}*\frac{1}{{\pi t}} \Leftrightarrow j \cdot \;sign(\omega ) \cdot j \cdot \;sign(\omega ) =  - 1$

即信号两次Hilbert变换后是其自身相反数，因此正弦信号的Hilbert是负的余弦。

对应解析信号为：

$z(t) = x(t) + j\tilde x(t)$

此操作实现了信号由双边谱到单边谱的转化。

B-Hilbert解调原理

设有窄带信号：

$x(t) = a(t)\cos [2\pi {f_s}t + \varphi (t)]$

其中$f_s$是载波频率，$a(t)$是$x(t)$的包络，$\varphi (t)$是$x(t)$的相位调制信号。由于$x(t)$是窄带信号，因此$a(t)$也是窄带信号，可设为：

$a(t) = \left[ {1 + \sum\limits_{m = 1}^M {{X_m}\cos (2\pi {f_m}t + {\gamma _m})} } \right]$

式中，$f_m$为调幅信号$a(t)$的频率分量，${\gamma _m}$为$f_m$的各初相角。

对$x(t)$进行Hilbert变换，并求解解析信号，得到：

$z(t) = {e^{j\left[ {2\pi {f_s} + \varphi \left( t \right)} \right]}}\left[ {1 + \sum\limits_{m = 1}^M {{X_m}\cos (2\pi {f_m}t + {\gamma _m})} } \right]$

设

$A(t) = \left[ {1 + \sum\limits_{m = 1}^M {{X_m}\cos (2\pi {f_m}t + {\gamma _m})} } \right]$

$\Phi \left( t \right) = 2\pi {f_s}t + \varphi \left( t \right)$

则解析信号可以重新表达为：

$z(t) = A(t){e^{j\Phi \left( t \right)}}$

对比$x(t)$表达式，容易发现：

$a(t) = A(t) =  \sqrt {{x^2}(t) + {{\tilde x}^2}(t)} $

$\varphi (t) = \Phi (t) - 2\pi {f_s}t = \arctan \frac{{x(t)}}{{\tilde x(t)}} - 2\pi {f_s}t$

由此可以得出：对于窄带信号$x(t)$，利用Hilbert可以求解解析信号，从而得到信号的幅值解调$a(t)$和相位解调$\varphi (t)$，并可以利用相位解调求解频率解调$f(t)$。因为：

$f\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\frac{{d\varphi (t)}}{{dt}} = \frac{1}{{2\pi }}\frac{{d\Phi (t)}}{{dt}} - {f_s}$

C-相关MATLAB指令

hilbert

功能：将实数信号x(n)进行Hilbert变换，并得到解析信号z(n).

调用格式：z = hilbert(x)

instfreq

功能：计算复信号的瞬时频率。

调用格式：[f, t] = insfreq(x,t)

示例：

z = hilbert(x);

f = instfreq(z);

二、应用实例

例1：给定一正弦信号，画出其Hilbert信号，直接给代码：

clc

clear all

close all

ts = 0.001;

fs = 1/ts;

N = 200;

f = 50;

k = 0:N-1;

t = k*ts;

% 信号变换

% 结论：sin信号Hilbert变换后为cos信号

y = sin(2*pi*f*t);

yh = hilbert(y); % matlab函数得到信号是合成的复信号

yi = imag(yh); % 虚部为书上定义的Hilbert变换

figure

subplot(211)

plot(t, y)

title('原始sin信号')

subplot(212)

plot(t, yi)

title('Hilbert变换信号')

ylim([-1,1])

对应效果图：

例2：已知信号$x(t) = (1 + 0.5\cos (2\pi 5t))\cos (2\pi 50t + 0.5\sin (2\pi 10t))$，求解该信号的包络和瞬时频率。

分析：根据解包络原理知：

信号包络：$(1 + 0.5\cos (2\pi 5t))$

瞬时频率：$\frac{2\pi 50t + 0.5\sin (2\pi 10t)}{2\pi}$

那么问题来了，实际情况是：我们只知道$x(t)$的结果，而不知道其具体表达形式，这个时候，上文的推导就起了作用：可以借助信号的Hilbert变换，从而求解信号的包络和瞬时频率。

对应代码：

clear all; clc; close all;

fs=400; % 采样频率

N=400; % 数据长度

n=0:1:N-1;

dt=1/fs;

t=n*dt; % 时间序列

A=0.5; % 相位调制幅值

x=(1+0.5*cos(2*pi*5*t)).*cos(2*pi*50*t+A*sin(2*pi*10*t)); % 信号序列

z=hilbert(x'); % 希尔伯特变换

a=abs(z); % 包络线

fnor=instfreq(z); % 瞬时频率

fnor=[fnor(1); fnor; fnor(end)]; % 瞬时频率补齐

% 作图

pos = get(gcf,'Position');

set(gcf,'Position',[pos(1), pos(2)-100,pos(3),pos(4)]);

subplot 211; plot(t,x,'k'); hold on;

plot(t,a,'r--','linewidth',2);

title('包络线'); ylabel('幅值'); xlabel(['时间/s' 10 '(a)']);

ylim([-2,2]);

subplot 212; plot(t,fnor*fs,'k'); ylim([43 57]);

title('瞬时频率'); ylabel('频率/Hz'); xlabel(['时间/s' 10 '(b)']);

其中instfreq为时频工具包的代码，可能有的朋友没有该代码，这里给出其程序：

function [fnormhat,t]=instfreq(x,t,L,trace);

%INSTFREQ Instantaneous frequency estimation.

%[FNORMHAT,T]=INSTFREQ(X,T,L,TRACE) computes the instantaneous

%frequency of the analytic signal X at time instant(s) T, using the

%trapezoidal integration rule.

%The result FNORMHAT lies between 0.0 and 0.5.

%

%X : Analytic signal to be analyzed.

%T : Time instants (default : 2:length(X)-1).

%L : If L=1, computes the (normalized) instantaneous frequency

% of the signal X defined as angle(X(T+1)*conj(X(T-1)) ;

% if L>1, computes a Maximum Likelihood estimation of the

% instantaneous frequency of the deterministic part of the signal

% blurried in a white gaussian noise.

% L must be an integer (default : 1).

%TRACE : if nonzero, the progression of the algorithm is shown

% (default : 0).

%FNORMHAT : Output (normalized) instantaneous frequency.

%T : Time instants.

%

%Examples :

% x=fmsin(70,0.05,0.35,25); [instf,t]=instfreq(x); plot(t,instf)

% N=64; SNR=10.0; L=4; t=L+1:N-L; x=fmsin(N,0.05,0.35,40);

% sig=sigmerge(x,hilbert(randn(N,1)),SNR);

% plotifl(t,[instfreq(sig,t,L),instfreq(x,t)]); grid;

% title ('theoretical and estimated instantaneous frequencies');

%

%See also KAYTTH, SGRPDLAY.

%F. Auger, March 1994, July 1995.

%Copyright (c) 1996 by CNRS (France).

%

%------------------- CONFIDENTIAL PROGRAM --------------------

%This program can not be used without the authorization of its

%author(s). For any comment or bug report, please send e-mail to

%f.auger@ieee.org

if (nargin == 0),

error('At least one parameter required');

end;

[xrow,xcol] = size(x);

if (xcol~=1),

error('X must have only one column');

end

if (nargin == 1),

t=2:xrow-1; L=1; trace=0.0;

elseif (nargin == 2),

L = 1; trace=0.0;

elseif (nargin == 3),

trace=0.0;

end;

if L<1,

error('L must be >=1');

end

[trow,tcol] = size(t);

if (trow~=1),

error('T must have only one row');

end;

if (L==1),

if any(t==1)|any(t==xrow),

error('T can not be equal to 1 neither to the last element of X');

else

fnormhat=0.5*(angle(-x(t+1).*conj(x(t-1)))+pi)/(2*pi);

end;

else

H=kaytth(L);

if any(t<=L)|any(t+L>xrow),

error('The relation L

else

for icol=1:tcol,

if trace, disprog(icol,tcol,10); end;

ti = t(icol); tau = 0:L;

R = x(ti+tau).*conj(x(ti-tau));

M4 = R(2:L+1).*conj(R(1:L));

diff=2e-6;

tetapred = H * (unwrap(angle(-M4))+pi);

while tetapred<0.0 , tetapred=tetapred+(2*pi); end;

while tetapred>2*pi, tetapred=tetapred-(2*pi); end;

iter = 1;

while (diff > 1e-6)&(iter<50),

M4bis=M4 .* exp(-j*2.0*tetapred);

teta = H * (unwrap(angle(M4bis))+2.0*tetapred);

while teta<0.0 , teta=(2*pi)+teta; end;

while teta>2*pi, teta=teta-(2*pi); end;

diff=abs(teta-tetapred);

tetapred=teta; iter=iter+1;

end;

fnormhat(icol,1)=teta/(2*pi);

end;

end;

end;

对应的结果图为：

可以看到信号的包络、瞬时频率，均已完成求解。

例3：例2中信号包络为规则的正弦函数，此处给定任意形式的包络(以指数形式为例)，并利用Hilbert求解包络以及瞬时频率，并给出对应的Hilbert谱。

程序：

clc

clear all

close all

ts = 0.001;

fs = 1/ts;

N = 200;

k = 0:N-1;

t = k*ts;

% 原始信号

f1 = 10;

f2 = 70;

% a = cos(2*pi*f1*t); % 包络1

a = 2 + exp(0.2*f1*t); % 包络2

% a = 1./(1+t.^2*50); % 包络3

m = sin(2*pi*f2*t); % 调制信号

y = a.*m; % 信号调制

figure

subplot(241)

plot(t, a)

title('包络')

subplot(242)

plot(t, m)

title('调制信号')

subplot(243)

plot(t, y)

title('调制结果')

% 包络分析

% 结论：Hilbert变换可以有效提取包络、高频调制信号的频率等

yh = hilbert(y);

aabs = abs(yh); % 包络的绝对值

aangle = unwrap(angle(yh)); % 包络的相位

af = diff(aangle)/2/pi; % 包络的瞬时频率，差分代替微分计算

% NFFT = 2^nextpow2(N);

NFFT = 2^nextpow2(1024*4); % 改善栅栏效应

f = fs*linspace(0,1,NFFT);

YH = fft(yh, NFFT)/N; % Hilbert变换复信号的频谱

A = fft(aabs, NFFT)/N; % 包络的频谱

subplot(245)

plot(t, aabs,'r', t, a)

title('包络的绝对值')

legend('包络分析结果', '真实包络')

subplot(246)

plot(t, aangle)

title('调制信号的相位')

subplot(247)

plot(t(1:end-1), af*fs)

title('调制信号的瞬时频率')

subplot(244)

plot(f,abs(YH))

title('原始信号的Hilbert谱')

xlabel('频率f (Hz)')

ylabel('|YH(f)|')

subplot(248)

plot(f,abs(A))

title('包络的频谱')

xlabel('频率f (Hz)')

ylabel('|A(f)|')

对应结果图：

从结果可以观察，出了边界误差较大，结果值符合预期。对于边界效应的分析，见扩展阅读部分。注意：此处瞬时频率求解，没有用instfreq函数，扩展阅读部分对该函数作进一步讨论。

三、扩展阅读

A-瞬时频率求解方法对比

对于离散数据，通常都是用差分代替微分，因此瞬时频率也可根据概念直接求解。此处对比分析两种求解瞬时频率的方法，给出代码：

clc

clear all

close all

ts = 0.001;

fs = 1/ts;

N = 200;

k = 0:N-1;

t = k*ts;

% 原始信号

f1 = 10;

f2 = 70;

% a = cos(2*pi*f1*t); % 包络1

a = 2 + exp(0.2*f1*t); % 包络2

% a = 1./(1+t.^2*50); % 包络3

m = sin(2*pi*f2*t); % 调制信号

y = a.*m; % 信号调制

figure

yh = hilbert(y);

aangle = unwrap(angle(yh)); % 包络的相位

af1 = diff(aangle)/2/pi; % 包络的瞬时频率，差分代替微分计算

af1 = [af1(1),af1];

subplot 211

plot(t, af1*fs);hold on;

plot(t,70*ones(1,length(t)),'r--','linewidth',2);

title('直接求解调制信号的瞬时频率');

legend('频率估值','真实值','location','best');

subplot 212

af2 = instfreq(yh.').';

af2 = [af2(1),af2,af2(end)];

plot(t, af2*fs);hold on;

plot(t,70*ones(1,length(t)),'r--','linewidth',2);

title('instfreq求解调制信号的瞬时频率');

legend('频率估值','真实值','location','best');

结果图：

可以看出，两种方式结果近似，但instfreq的结果更为平滑一些。

B-端点效应分析

对于任意包络，求解信号的包络以及瞬时频率，容易出现端点误差较大的情况，该现象主要基于信号中的Gibbs现象，限于篇幅，拟为此单独写一篇文章，具体请参考：Hilbert端点效应分析。

C-VMD、EMD

Hilbert经典应用总绕不开HHT(Hilbert Huang)，HHT基于EMD，近年来又出现了VMD分解，拟为此同样写一篇文章，略说一二心得，具体参考：EMD、VMD的一点小思考。

D-解包络方法

需要认识到，Hilbert不是解包络的唯一途径，低通滤波(LPF)等方式一样可以达到该效果，只不过截止频率需要调参。

给出一个Hilbert、低通滤波解包络的代码：

function y=envelope(signal,Fs)

%Example:

% load('s4.mat');

% signal=s4;

% Fs=12000;

% envelope(signal,Fs);

clc;

close all;

%Normal FFT

y=signal;

figure();

N=2*2048;T=N/Fs;

sig_f=abs(fft(y(1:N)',N));

sig_n=sig_f/(norm(sig_f));

freq_s=(0:N-1)/T;

subplot 311

plot(freq_s(2:250),sig_n(2:250));title('FFT of Original Signal');

%Envelope Detection based on Low pass filter and then FFT

[a,b]=butter(2,0.1);%butterworth Filter of 2 poles and Wn=0.1

%sig_abs=abs(signal); % Can be used instead of squaring, then filtering and

%then taking square root

sig_sq=2*signal.*signal;% squaring for rectifing

%gain of 2 for maintianing the same energy in the output

y_sq = filter(a,b,sig_sq); %applying LPF

y=sqrt(y_sq);%taking Square root

%advantages of taking square and then Square root rather than abs, brings

%out some hidden information more efficiently

N=2*2048;T=N/Fs;

sig_f=abs(fft(y(1:N)',N));

sig_n=sig_f/(norm(sig_f));

freq_s=(0:N-1)/T;

subplot 312

plot(freq_s(2:250),sig_n(2:250));title('Envelope Detection: LPF Method');

%Envelope Detection based on Hilbert Transform and then FFT

analy=hilbert(signal);

y=abs(analy);

N=2*2048;T=N/Fs;

sig_f=abs(fft(y(1:N)',N));

sig_n=sig_f/(norm(sig_f));

freq_s=(0:N-1)/T;

subplot 313

plot(freq_s(2:250),sig_n(2:250));title('Envelope Detection : Hilbert Transform')

结果图：

效果是不是也不错？

Hilbert硬件实现思路：

思路1(时域处理)：借助MATLAB fdatool实现，Hilbert transform，导出滤波器系数

思路2(频域处理)：

参考：