ADI算法

初边值问题叙述

满足定解条件的齐次方程:

∂u∂t=a2(∂2u∂x2+∂2u∂y2)(1)\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = {a^2}\left( {\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}}} \right) \tag{1} ∂t∂u=a2(∂x2∂2u+∂y2∂2u)(1)
s.t.0≤x,y≤l;t>0u∣t=0=φ(x,y)∀t>0:u(0,0,t)=u(0,l,t)=u(l,0,t)=u(l,l,t)=0s.t.0 \le x,y \le l;t > 0 \\ u{|_{t = 0}} = \varphi \left( {x,y} \right) \\ \forall t >0:u\left( {0,0,t} \right) = u\left( {0,l,t} \right) = u\left( {l,0,t} \right) = u\left( {l,l,t} \right) = 0 s.t.0≤x,y≤l;t>0u∣t=0=φ(x,y)∀t>0:u(0,0,t)=u(0,l,t)=u(l,0,t)=u(l,l,t)=0
以及为了求出比较美观的解的一个边值条件:
∀t>0:u(l4,l4,t)=u(l4,3l4,t)=u(3l4,l4,t)=u(3l4,3l4,t)=1\forall t>0:u\left( {\frac{l}{4},\frac{l}{4},t} \right) = u\left( {\frac{l}{4},\frac{{3l}}{4},t} \right) = u\left( {\frac{{3l}}{4},\frac{l}{4},t} \right) = u\left( {\frac{{3l}}{4},\frac{{3l}}{4},t} \right) = 1 ∀t>0:u(4l,4l,t)=u(4l,43l,t)=u(43l,4l,t)=u(43l,43l,t)=1

MATLAB实现

%% ADI
M=200;%网格数量
N=2000;%时间分割
T=0.05;%总时间
number = 50;%初始点数
tau=T./N;
L=1;
a=1;%导热系数决定的
h=L./M;
r=tau./h./h./2.*a.^2;%网比
disp(r);
H=sparse(diag(ones(1,M)*(2.*r+1)))+sparse(diag(ones(1,M-1)*(-r),1))+sparse(diag(ones(1,M-1)*(-r),-1));
v=zeros(M,M);
u=zeros(M,M);%初值
u(1,:)=0;u(M,:)=0;u(:,1)=0;u(:,M)=0;
[X,Y] = meshgrid(h:h:L,h:h:L);
RP = [randperm(M-2,number)'+1,randperm(M-2,number)'+1];%初始温度为100.0的点
for iter = 1:number
u(RP(iter,1),RP(iter,2)) = 100.0;
end
for k = 2:N
u(1,:)=0;u(M,:)=0;u(:,1)=0;u(:,M)=0;
delta_y=([zeros(M,1),u(:,1:M-1)]+[u(:,2:M),zeros(M,1)]-2*u)*r;
v=H\(u+delta_y);
v=v';
delta_x=([zeros(M,1),v(:,1:M-1)]+[v(:,2:M),zeros(M,1)]-2*v)*r;
u=H\(v+delta_x);
u=u';
u(1,:)=0;u(M,:)=0;u(:,1)=0;u(:,M)=0;
colormap(hot(10));contourf(h:h:L, (h:h:L)', u, 'ShowText','on');colorbartitle('热传导初边值问题');hold off;frame=getframe(gcf);imind=frame2im(frame); [imind,cm] = rgb2ind(imind,256);if k==1imwrite(imind,cm,'test.gif','gif', 'Loopcount',inf,'DelayTime',1e-4);elseif mod(k,100)==1imwrite(imind,cm,'test.gif','gif','WriteMode','append','DelayTime',1e-4);fprintf('epoch=%d\n',k);endend
end

这里是向单位正方形中滴入50个温度为100的点的散热建模
l=1,T=0.05,a=1l=1,T=0.05,a=1 l=1,T=0.05,a=1
下的解。

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