c++ 数据结构之线段树

线段树是一种数据结构，是一种二叉树。线段树将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。线段树对于区间求和等区间操作能够实现复杂度为O(logn)的操作，故得以广泛利用。修改一个值的操作也是O(logn)。

线段树是建立在线段基础上，每个结点都代表了一条线段[a,b]。长度为1的线段称为元线段。非元线段都有两个子结点，左结点代表的线段为[a,(a + b) / 2]，右结点代表的线段为[((a + b) / 2）+1,b]。

线段树示意图如下：

在上图中，叶子结点（绿色）是真正的节点，而上面蓝色的线段则表示一段线段的和。（这里面线段树就以区间加和为例）。比如说A[0...9]实际上就是从索引0加和到9得到的结果。所以说，任何一个节点的值都等于其左右两个子节点的和。

线段树的求和和更新用到的知识的递归和分治。比如说更新一个索引为i的值为val。那么要找到这个点然后分别更新它的父节点，父节点的父节点等等。

我们在这里规定根节点的索引为0，那么定位某个索引为index根节点的左孩子右孩子，就类似堆的数据结构，左孩子索引为2*index+1,2*index+2。

1. 当创建一个线段树的时候要从下至上创建根节点，两个孩子创建好以后，根据需要的业务逻辑(区间和，区间最大值，区间最小值)，来创建这两个孩子的根节点。
2. 当查询一段区间和的时候，查询区间有可能在线段树某个节点的左半区间(左孩子)那就递归查询左孩子，或者右半区间(右孩子)那就递归查询右孩子，或者(左半右半都有一部分)，就递归查询左半部分，右半部分，然后根据业务逻辑合并返回
3. 当更新一个节点值的时候：如果更新位置在节点的左半区间(左孩子)，就递归更新左孩子，如果在右半区间，就递归更新右孩子。更新完成以后，里面的小区间变化了，包裹的大区间即该节点也要根据业务逻辑更新

下面我们看一下用数组实现线段树以及更新单点的值，以及求区间的值是如何实现的（注释写的非常详细了）：

//线段树
class SegmentTree{
public:vector<int> tree; //存放线段树的数字int lentree;SegmentTree(vector<int> &nums){//用nums来初始化tree数组lentree = nums.size(); //记录树中叶节点的长度/*初始化4N长度的线段树，默认值是0。 索引从0开始，一个节点i的子节点索引分别是2i+1和2i+2*/for (int i = 0; i < 4 * lentree; i++) tree.push_back(0);buildTree(nums, 0, 0, lentree - 1);//建树函数}~SegmentTree(){}//tree_index 是节点在线段树的索引。l和r是线段树中任何一个节点的左边界和右边界，当l==r时候表示单个节点void buildTree(vector<int> &nums, int tree_index, int l, int r){//如果是叶子结点if (l > r) return;if (l == r){tree[tree_index] = nums[l];return;}int mid = (l + r) / 2;//将nums数组分成【l, mid】和【mid + 1, r】两段//计算左右子节点的索引int left = 2 * tree_index + 1;int right = 2 * tree_index + 2;//分别构建左右子树buildTree(nums, left, l, mid);buildTree(nums, right, mid + 1, r);//这里是用了分治法的思想，建好了左右两个子树然后再计算两者之和，得到整个区间的和tree[tree_index] = tree[left] + tree[right];}//查询的是ql到qr之间的和。l，r表示当前查询的左右边界。tree_index表示当前查询到的节点的编号int query(int tree_index, int l, int r, int ql, int qr){if ((l == ql) && (r = qr)){//已经查询到叶子结点了return tree[tree_index];}int mid = (l + r) / 2;int left = 2 * tree_index + 1;int right = 2 * tree_index + 2;if (qr <= mid){//要查询的部分完全在线段树的左半段return query(left, l, mid, ql, qr);}else if (ql > mid){//要查询的部分完全在线段树的右半段return query(right, mid + 1, r, ql, qr);}else{//左右两段都有return query(left, l, mid, ql, mid) + query(right, mid + 1, r, mid + 1, qr);}}void update(int tree_index, int l, int r, int index, int val){//更新位于某个叶子结点(索引为index)的值为valif (l == r){tree[tree_index] = val;return;}int mid = (l + r) / 2;int left = 2 * tree_index + 1;int right = 2 * tree_index + 2;if (index <= mid){//索引index在mid左边，说明在左子树上面update(left, l, mid, index, val);}else{//在右子树上面update(right, mid + 1, r, index, val);}//同样用了分治的办法，左右子节点更新完毕之后再更新自己tree[tree_index] = tree[left] + tree[right];}//输出所有叶子结点的值void print(int tree_index, int l, int r){if (l > r) return;if (l == r){cout << tree[tree_index] << ' ';return;}int mid = (l + r) / 2;int left = 2 * tree_index + 1;int right = 2 * tree_index + 2;print(left, l, mid);print(right, mid + 1, r); }
};//外部调用线段树解决问题的类
class NumArray {
public:SegmentTree *segtree;NumArray(vector<int>& nums) {segtree = new SegmentTree(nums);segtree->print(0, 0, nums.size() - 1);cout << endl;}void update(int i, int val) {//外部调用线段树的更新值函数cout << "before update: " << endl;segtree->print(0, 0, segtree->lentree - 1);cout << "-----------------------------------" << endl;segtree->update(0, 0, segtree->lentree - 1, i, val);cout << "after update:" << endl;segtree->print(0, 0, segtree->lentree - 1);cout << "-----------------------------------" << endl;}int sumRange(int i, int j) {//区间求和return segtree->query(0, 0, segtree->lentree - 1, i, j);}
};int main(){vector<int> nums = {1, 3, 5};NumArray* obj = new NumArray(nums);//修改索引1的值为2obj->update(1, 2);int param_2 = obj->sumRange(0, 2);cout << param_2 << endl;system("pause");return 0;
}

输出是：

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