【BZOJ4370】【IOI2015】horses 数据结构平衡树+线段树

4370: [IOI2015]horses马

Time Limit: 30 Sec Memory Limit: 1500 MB
Description

像他的祖先一样，Mansur喜欢繁殖马匹。目前，他拥有哈萨克斯坦最大的马场。以前情况可不是这样，N年前Mansur年轻时，他只拥有一匹马，但他一直梦想着成为富豪，最终,他美梦成真。
按照时间的先后顺序将年份编号为0到N-1（即N-1年是最近的一年）。每年的天气会影响马匹的繁殖。Mansur用一个正整数X[i]记录第i年的繁殖系数，如果第i年开始时有h匹马，那么这一年结束时会有h•X[i]匹马。
每年，只有年底的时候可以出售马匹。Mansur用一个正整数Y[i]记录第i年末卖出一匹马的售价。Mansur可以卖出任意多匹马，每匹售价均为Y[i]。
现在，Mansur想知道如果在N年中，他总能在最佳时间出售马匹，他能获得的最⼤收益是多少？你正好在Mansur家做客，所以他想请你帮他回答这个问题。
Mansur对记录下的X和Y做了M次更新，每次更新，Mansur要么改变一个X[i] ，要么改变一个Y[i]。每次更新后，他都会问你出售马匹能获得的最大收益。Mansur的更新是累加的，即你的每个回答时都应该考虑之前的所有更新。注意：某个X[i]或者Y[i]可能会被更新多次。
对于Mansur的问题，实际的答案可能是一个非常大的数字，你只要给出实际答案模10^9+7后的结果即可。

Input

第1行: N
第2行: X[0] … X[N - 1]
第3行: Y[0] … Y[N - 1]
第4行: M
第5,…,M+4行: 每行3个数字type pos val (type=1表示updateX，type=2 表
示updateY)。
N: 表示总共有N年。
X: 长度为N的数组，对0≤i≤N-1,X[i]表示i年的繁殖系数。
Y: 长度为N的数组，对0≤i≤N-1,Y[i]表示i年末出售一匹马的价格。
注意：X、Y均为Mansur给定的初值（更新前的值）。
pos: 一个整数，范围是0，…,N-1。
val: X[pos]或Y[pos]更新后的值。

Output

共M+1行
第1行：一个整数表示初始状态下，Mansur获得的最大收益模10^9+7后的值。
第2,…,M+1行：每行一个整数，表示这次更新后Mansur获得的最大收益模10^9+7后的值。

Sample Input

2 1 3

3 4 1

2 1 2
Sample Output

6
HINT
n<=500000,m<=100000
Source
IOI2015 day 1

这题杜教WC上讲了，当时听着自己又想了想感觉并不是很难（应该是那六道题中第二简单的……），回来后决定写一写，写着玩着竟然就是两天……
首先有这样一件事情：一定存在一个最优解，其在某个时刻将马全部卖出。
证明：设Si为x1,x2…xi的乘积。假设最优解是分两次，分别在a、b两时刻卖出，设a时刻卖出k匹马，则收益为k * ya-Sb * yb-k * Sb * yb / Sa。经过简单计算可发现：Sa * ya < Sb * yb时，则在a时刻将马全部卖出一定是最优解之一；Sa * y a>=Sb * yb时，在b时刻将马全部卖出一定是最优解之一。由此命题得证。
为了方便，我们约定x0=1。
设lim=10^9，p=lim+7。
接下来问题便转化为了：求max{Si * yi,1<=i<=n },有修改。由于Si的值太大，难以用数据结构直接维护。根据数据范围，不难发现答案只存在于某个后缀j中，后缀j满足：后j+1个数的乘积mul<=lim,且mul * xj>lim。如果我们把大于1的数成为“wxw数”，不难发现每次修改，后缀j只会增加或减少至多30个wxw数（因为2^30>lim）。由此我们便可以利用双向链表来维护所有的wxw数（同时我们需要一颗平衡树来维护这个双向链表……），同时使用线段树维护后缀j中的Si*yi的最大值（这里的Si从j+1开始计算），同时手动维护前缀j的乘积%p的值（用到了扩展欧几里得算法求逆元，也可用费马小定理）。
btw，平衡树可以用set代替毕竟只需要寻找前驱后继，然而极度讨厌STL的我……
编写的过程中一定要注意一些可能使中间运算结果超出long long 范围的细节。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#define clr(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define maxn 500000
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define mid l+r>>1
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL p=1e9+7;
const LL lim=1e9;
int n;
LL x[maxn+10],y[maxn+10];
void exeuclid(LL a,LL b,LL &x,LL &y){if(b==0){x=1;y=0;}else{exeuclid(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;}
}
LL inv(LL a){LL x,y;exeuclid(a,p,x,y);return (x+p)%p;
}
struct doublelinkedlist{int fa[maxn+10],ch[maxn+10][2],ro,pre[maxn+10],suf[maxn+10];void init(){clr(fa,0);clr(pre,0);clr(suf,0);clr(ch,0);ro=1;fa[n+2]=1;ch[1][1]=n+2;pre[n+2]=1;suf[1]=n+2;for(int i=2;i<=n+1;i++)if(x[i]!=1)insert(ro,0,i);}int rc(int fa,int o){return ch[fa][1]==o;}void rot(int o){int f=fa[o],r=rc(f,o);fa[ch[fa[f]][rc(fa[f],f)]=o]=fa[f];fa[ch[f][r]=ch[o][r^1]]=f;fa[ch[o][r^1]=f]=o;}void splay(int o,int f){if(!f)ro=o;while(fa[o]!=f){if(fa[fa[o]]!=f&&rc(fa[fa[o]],fa[o])==rc(fa[o],o))rot(fa[o]);rot(o);}}void del(int o){int p=pre[o],s=suf[o];splay(p,0);splay(s,p);ch[s][0]=0;suf[p]=s;pre[s]=p;}void insert(int &o,int f,int pos){if(!o){o=pos;fa[o]=f;ch[o][0]=ch[o][1]=0;splay(pos,0);int p=ch[pos][0],s=ch[pos][1];while(ch[p][1])p=ch[p][1];while(ch[s][0])s=ch[s][0];pre[pre[s]=pos]=p;suf[suf[p]=pos]=s;}else{if(pos>o)insert(ch[o][1],o,pos);else insert(ch[o][0],o,pos);}}
}spt;
struct segnode{int lc,rc;LL maxv,mulv;
};
struct segmenttree{segnode no[2*maxn+10];int cnt;void init(int &l,LL &pre,LL &suf){clr(no,0);cnt=0;int o;maketree(o,2,n+1);pre=suf=1;for(l=n+1;l>1;l--){suf*=x[l];if(suf>lim){suf/=x[l];for(int j=2;j<=l;j++)pre=pre*x[j]%p;break;}update(1,2,n+1,l,n+1,x[l],1);}for(int i=2;i<=n+1;i++)update(1,2,n+1,i,i,y[i],1);  }void maketree(int &o,int l,int r){o=++cnt;no[o].mulv=1;no[o].maxv=1;if(l==r)return;int m=mid;maketree(no[o].lc,l,m);maketree(no[o].rc,m+1,r);   }void mark(int o,LL v){segnode &cur=no[o];cur.mulv*=v;cur.maxv*=v;}void update(int o,int l,int r,int ql,int qr,LL v1,LL v2){if(ql<=l&&r<=qr){no[o].maxv/=v2;no[o].mulv/=v2;mark(o,v1);}else{segnode &cur=no[o];int m=mid;if(ql<=m)update(cur.lc,l,m,ql,qr,v1,v2);if(qr>m)update(cur.rc,m+1,r,ql,qr,v1,v2);   cur.maxv=max(no[cur.lc].maxv,no[cur.rc].maxv)*cur.mulv;}}void query(int o,int l,int r,int ql,int qr,LL mul,LL &qmax){if(ql<=l&&r<=qr)qmax=max(qmax,no[o].maxv*mul);else{int m=mid;if(ql<=m)query(no[o].lc,l,m,ql,qr,mul*no[o].mulv,qmax);if(qr>m)query(no[o].rc,m+1,r,ql,qr,mul*no[o].mulv,qmax);}}
}seg;
LL pre,suf;
int l;
void print(){LL qmax=y[l],ans;seg.query(1,2,n+1,l+1,n+1,1,qmax);  printf("%lld\n",qmax%p*pre%p);
}
int main(){freopen("data53.in","r",stdin);freopen("4370.out","w",stdout);scanf("%d",&n);for(int i=2;i<=n+1;i++)scanf("%lld",&x[i]);x[1]=x[n+2]=1;for(int i=2;i<=n+1;i++)scanf("%lld",&y[i]);seg.init(l,pre,suf);spt.init();print();int q;scanf("%d",&q);int k,pos;LL v;while(q--){scanf("%d%d%lld",&k,&pos,&v);pos+=2;if(k==1){if(x[pos]==1&&v!=1)spt.insert(spt.ro,0,pos);if(x[pos]!=1&&v==1)spt.del(pos);if(pos<=l){pre=pre*inv(x[pos])%p*v%p;x[pos]=v;}else{seg.update(1,2,n+1,pos,n+1,1,x[pos]);suf=suf/x[pos]*v;x[pos]=v;}while(suf>lim){int s=spt.suf[l];suf/=x[s];pre=pre*x[s]%p;if(s!=pos)seg.update(1,2,n+1,s,n+1,1,x[s]);l=s;}if(l<pos)seg.update(1,2,n+1,pos,n+1,x[pos],1);while(l!=1){if(suf*x[l]<=lim){suf*=x[l];pre=pre*inv(x[l])%p;seg.update(1,2,n+1,l,n+1,x[l],1);l=spt.pre[l];}else break;}}else{seg.update(1,2,n+1,pos,pos,v,y[pos]);y[pos]=v;}print();}return 0;
}

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