数据结构之线段树进阶（区间更新lazy标记）

之前说了线段树的点更新和区间求和。其实点更新是区间更新的一种最基础的做法。我们把一个点想像成一个区间的话，不就是最简单的区间更新了嘛。
为什么要把区间更新和点更新分开来看呢？假如我们对区间[l,r]进行更新，我们对这一段区间进行r-l+1次点更新不就行了嘛？这样结果确实没有错误，但是这样的话，时间复杂度会非常高，区间更新的题目如果这么做肯定会超时的。那么我们就引进了区间更新了。
这里引入了一个标记数组，lazy[maxn<<2]。lazy数组是区间更新中的精髓所在，lazy的意思就是懒的意思。我们对于每一次区间更新，我们并不直接一次更新到底，而是用lazy标记着更新了多少，等到需要的时候，我们再更新。
简单的说就是，我们把向下的修改先储存起来，而对于每个查询我们在向上传递答案的时候加上这些修改的值。
那区间更新+区间求和来说：
对于任意一段[l,r]区间加上一个数v,然后对任意区间求和。

inline void pushup(int cur)//pushup和之前的含义是一样的
{p[cur].sum=p[cur<<1].sum+p[cur<<1|1].sum;
}
inline void pushdown(int cur)//重点重点重点
{if(p[cur].lazy)//如果存在延迟更新的话{p[cur<<1].lazy+=p[cur].lazy;p[cur<<1|1].lazy+=p[cur].lazy;//左右儿子节点的lazy加上父亲节点的lazyp[cur<<1].sum+=(p[cur<<1].r-p[cur<<1].l+1)*p[cur].lazy;p[cur<<1|1].sum+=(p[cur<<1|1].r-p[cur<<1|1].l+1)*p[cur].lazy;//每个节点都加上了lazy，这样的话，一共就加上了区间长度个lazy。p[cur].lazy=0;//执行完上面的操作后就将lazy清零。}
}

区间更新模板

const int maxx=1e5+100;
struct node{int l;int r;int sum;int lazy;
}p[maxx<<2];
inline void pushup(int cur)
{p[cur].sum=p[cur<<1].sum+p[cur<<1|1].sum;
}
inline void pushdown(int cur)
{if(p[cur].lazy){p[cur<<1].lazy+=p[cur].lazy;p[cur<<1|1].lazy+=p[cur].lazy;p[cur<<1].sum+=(p[cur<<1].r-p[cur<<1].l+1)*p[cur].lazy;p[cur<<1|1].sum+=(p[cur<<1|1].r-p[cur<<1|1].l+1)*p[cur].lazy;p[cur].lazy=0;}
}
inline void build(int l,int r,int cur)//一如既往的建树操作
{p[cur].l=l;p[cur].r=r;p[cur].sum=p[cur].lazy=0;if(l==r){p[cur].sum=a[l];return ;}int mid=l+r>>1;build(l,mid,cur<<1);build(mid+1,r,cur<<1|1);pushup(cur);
}
inline void update(int l,int r,int cur,int v)
{int L=p[cur].l;int R=p[cur].r;if(l<=L&&R<=r)//如果当前区间在要更新的区间中，就可以停止递归，转为lazy标记{p[cur].sum+=(R-L+1)*v;p[cur].lazy+=v;return ;}pushdown(cur);//现在要更新下面的子节点了，因此我们要先将之前的lazy标记下放，否则会出错。int mid=L+R>>1;if(r<=mid) update(l,r,cur<<1,v);else if(l>mid) update(l,r,cur<<1|1,v);else {update(l,mid,cur<<1,v);update(mid+1,r,cur<<1|1,v);}pushup(cur);
}
inline int query(int l,int r,int cur)//求和操作，和update的含义是一样的。
{int L=p[cur].l;int R=p[cur].r;if(l<=L&&R<=r) return p[cur].sum;pushdown(cur);int mid=L+R>>1;if(r<=mid) return query(l,r,cur<<1);else if(l>mid) return query(l,r,cur<<1|1);else return query(l,mid,cur<<1)+query(mid+1,r,cur<<1|1);
}

线段树的魅力并不在于这里，而是线段树和其他的算法巧妙的结合在一起，例如DP以及矩阵等，会产生很多有意思的算法。除此之外，线段树的区间合并以及扫描线等也是很有意思的。
努力加油a啊，(^o)/~

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