排序算法之——希尔排序分析
引言
希尔排序的名称来源于它的发明者Donald Shell,是插入排序的一种,也称缩小增量排序,是直接插入排序算法的一种更高效的改进版本。
思路
希尔排序将整个待排序序列视为一个矩阵,逐列各自进行(插入)排序w-sorting
。
若矩阵当前宽度为
w
,那么各自排序称为w-sorting
过程:
- 将整个无序序列分割成若干个子序列(重排矩阵,由相隔某个“增量”的元素组成的)分别进行直接插入排序(若矩阵的每一列都已经经过了排序,则称之为
w-ordered
) - 然后依次缩小增量再进行排序(使矩阵变窄),待整个序列中的元素基本有序时,再对全体元素进行一次直接插入排序(如此往复,直到矩阵变成一列
1-sorting
) - 其中,增量为矩阵宽度构造的逆序列 {w1=1,w2,… }\{w_1=1,w_2,\dots\}{w1=1,w2,…}
下面来分析一个实例:
数组大小为13,我们将增量初始设置为长度/2,然后不停的除2直到为0。
首先,宽度13/2 = 6,那么矩阵宽度为6,首先将一维数组构造成一个矩阵,列数为6,行数未知。
构造方法也很简单,取6个元素放在第1行,再取6个放在第2行…
构造成的矩阵如上,每行给定不同的颜色,为了区分。初始数组可以看出是13X1的矩阵,这里我们把它变成了类似6X3的矩阵(为什么说类似,因为第3行没填满嘛)。
逐列进行(插入)排序6-sorting
:
上图左边是插入排序后的结果,右边是矩阵还原成一维数组的结果。注意到我们的数组中有两个16,经过此次排序,最后一个16到了最前面,因此可以看出该算法是不稳定的。
宽度6/2=3:
转换为矩阵,并排序:
上图1转换矩阵;图2对每列进行排序;图3是转换成数组。可以感受到,进行插入排序并不需要交换太多的元素。插入排序很适合于这种基本有序的数组。
宽度3/2=1:
宽度为1的矩阵可以看成是立起来的一维数组,所以现在只需要对该数组进行插入排序即可。
最终结果为:
其中,橙色的元素是发生往前插的元素。最终,得到一个排序序列。
代码
/*** 是插入排序的一种,也称缩小增量排序,是直接插入排序算法的一种更高效的改进版本。* <p>* 将整个无序序列分割成若干个子序列(由相隔某个“增量”的元素组成的)分别进行直接插入排序,* 然后依次缩小增量再进行排序,待整个序列中的元素基本有序时,再对全体元素进行一次直接插入排序。* <p>* 初始增量为数组长度/2,然后增量不停的缩小一半,直到为0* @param a* @param <E>*/
public static <E extends Comparable<? super E>> void shellSort(E[] a) {int j;for (int gap = a.length/2; gap > 0 ; gap/= 2) {//初始增量为数组长度/2,然后增量不停的缩小一半,直到为0for (int i = gap; i < a.length; i++) {//子序列分别进行直接插入排序//进行直接插入排序E tmp = a[i];for (j = i; j >= gap && tmp.compareTo(a[j - gap]) < 0 ; j-= gap) {a[j] = a[j - gap];}a[j] = tmp;}// System.out.println("gap=" + gap +"," + Arrays.toString(a));}
}
其中,该部分代码是和直接插入排序很类似的,因此先要理解插入排序的思想。
E tmp = a[i];
for (j = i; j >= gap && tmp.compareTo(a[j - gap]) < 0 ; j-= gap) {a[j] = a[j - gap];
}
a[j] = tmp;
复杂度和稳定性
时间复杂度
希尔排序中对于增量序列的选择十分重要,直接影响到希尔排序的性能。我们上面选择的增量序列,其最坏时间复杂度依然为O(N2)O(N^2)O(N2),一些经过优化的增量序列如Hibbard,经过证明可使得最坏时间复杂度为O(N32)O(N^\frac{3}{2})O(N23),。稳定性
非稳定算法
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