机器学习算法的调试 —— 梯度检验（Gradient Checking）

反向传播算法很难调试得到正确结果，尤其是当实现程序存在很多难于发现的bug 时。举例来说，索引的缺位错误（off-by-one error）会导致只有部分层的权重得到训练（for(i=1; i<=m; ++i) 被漏写为 for(i=1; i<m; ++i)），再比如忘记计算偏置项。这些错误会使你得到一个看似十分合理的结果（但实际上比正确代码的结果要差）。因此，仅从计算结果上来看，我们很难发现代码中有什么东西遗漏了。本节中，我们将介绍一种对求导结果进行数值检验的方法，该方法可以验证求导代码是否正确。另外，使用本节所述求导检验方法，可以帮助你提升写正确代码的信心。

数学原理

考虑我们想要最小化以 θ\theta 为自变量的目标函数 J(θ)J(\theta)（θ\theta 可以为标量和可以为矢量，在 Numpy 的编程环境下，处理是一样的），迭代梯度更新公式为：

θ:=θ−αddθJ(θ)

\theta:=\theta-\alpha\frac{d}{d\:\theta}J(\theta)
我们不妨以 Sigmoid 函数为例，也即 f(z)=11+exp(−z)f(z)=\frac{1}{1+\exp(-z)}，其导数形式为 f′(z)=g(z)=f(z)(1−f(z))f'(z)=g(z)=f(z)(1-f(z))，我们可轻易地编程实践，接着我们便可使用 θ:=θ−αddθJ(θ)\theta:=\theta-\alpha\frac d{d\:\theta}J(\theta)来实现梯度下降算法，那么我们如何知道 g(z)g(z)梯度的正确性呢。

回忆导数的数学定义：

ddθJ=limϵ→0J(θ+ϵ)−J(θ−ϵ)2ϵ

\frac{d}{d\:\theta}J=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{J(\theta+\epsilon)-J(\theta-\epsilon)}{2\epsilon}

由此我们可得梯度校验的数值校验公式：

g(θ)≈J(θ+ϵ)−J(θ−ϵ)2ϵ

g(\theta)\approx \frac{J(\theta+\epsilon)-J(\theta-\epsilon)}{2\epsilon}

这便是梯度检验的原理。在实际应用中，我们常将 ϵ\epsilon 设为一个很小的常量，比如 10−410^{-4} 数量级，我们不会将它设得太小，比如 10−2010^{-20}，因为那将导致数值舍入误差。事实上，上式两端值的接近程度取决于 JJ 的具体形式，但在假定 ϵ=10−4\epsilon=10^{-4} 的情况下，通常会发现左右两端至少有四位有效数字是一致的（或者说精度至少在0.0001一级）。

编程实现

import numpy as npdef sigmoid(z):return 1./(1+np.exp(-z))
def sigmoid_prime(z):return sigmoid(z)*(1-sigmoid(z))
def check_gradient(f, x0, epsilon):return (f(x0+epsilon) - f(x0-epsilon))/2/epsilonif __name__ == '__main__':x0 = np.array([1, 2, 3])epsilon = 1e-4print(sigmoid_prime(x0))# [ 0.19661193  0.10499359  0.04517666]print(check_gradient(sigmoid, x0, epsilon))# [ 0.19661193  0.10499359  0.04517666]

References

[1] 梯度检验与高级优化