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梯度检验 (Gradient Checking)

梯度检验帮我们节省了很多时间，也多次帮我发现backprop实施过程中的bug，接下来，我们看看如何利用它来调试或检验backprop的实施是否正确。

假设你的网络中含有下列参数， w[1]w^{[1]}w[1] 和 b[1]b^{[1]}b[1] …… w[l]w^{[l]}w[l] 和 b[l]b^{[l]}b[l] ，为了执行梯度检验，首先要做的就是，把所有参数转换成一个巨大的向量数据，你要做的就是把矩阵 www 转换成一个向量，把所有 www 矩阵转换成向量之后，做连接运算，得到一个巨型向量 θ\thetaθ ，该向量表示为参数 θ\thetaθ ，代价函数 JJJ 是所有 www 和 bbb 的函数，现在你得到了一个 θ\thetaθ 的代价函数 JJJ （即 J(θ)J(\theta)J(θ) ）。接着，你得到与 www 和 bbb 顺序相同的数据，你同样可以把 dw[1]dw^{[1]}dw[1] 和 db[1]db^{[1]}db[1] …… dw[l]dw^{[l]}dw[l] 和 db[l]db^{[l]}db[l] 转换成一个新的向量，用它们来初始化大向量 dθd\thetadθ，它与 θ\thetaθ 具有相同维度。

同样的，把 dw[1]dw^{[1]}dw[1] 转换成矩阵， db[1]db^{[1]}db[1] 已经是一个向量了，直到把 dw[l]dw^{[l]}dw[l] 转换成矩阵，这样所有的 dwdwdw 都已经是矩阵，注意 dw[1]dw^{[1]}dw[1] 与 w[1]w^{[1]}w[1] 具有相同维度， db[1]db^{[1]}db[1] 与 b[1]b^{[1]}b[1] 具有相同维度。经过相同的转换和连接运算操作之后，你可以把所有导数转换成一个大向量 dθd\thetadθ ，它与 θ\thetaθ 具有相同维度，现在的问题是 dθd\thetadθ 和代价函数 JJJ 的梯度或坡度有什么关系？

这就是实施梯度检验的过程，英语里通常简称为“grad check”，首先，我们要清楚 JJJ 是超参数 θ\thetaθ 的一个函数，你也可以将 JJJ 函数展开为 J(θ1,θ2,θ3,⋯)J(\theta_1,\theta_2,\theta_3,\cdots)J(θ1,θ2,θ3,⋯) ，不论超级参数向量 θ\thetaθ 的维度是多少，为了实施梯度检验，你要做的就是循环执行，从而对每个 iii 也就是对每个 θ\thetaθ 组成元素计算 dθapprox[i]d\theta_{approx}[i]dθapprox[i] 的值，我使用双边误差，也就是

dθapprox[i]=J(θ1,θ2,θ3,⋯,θi+ϵ,⋯)−J(θ1,θ2,θ3,⋯,θi−ϵ,⋯)2ϵd\theta_{approx}[i]=\frac{J(\theta_1,\theta_2,\theta_3,\cdots,\theta_i+\epsilon,\cdots)-J(\theta_1,\theta_2,\theta_3,\cdots,\theta_i-\epsilon,\cdots)}{2\epsilon}dθapprox[i]=2ϵJ(θ1,θ2,θ3,⋯,θi+ϵ,⋯)−J(θ1,θ2,θ3,⋯,θi−ϵ,⋯)

只对 θi\theta_iθi 增加 ϵ\epsilonϵ ，其它项保持不变，因为我们使用的是双边误差，对另一边做同样的操作，只不过是减去 ϵ\epsilonϵ ， θ\thetaθ 其它项全都保持不变。

从上节课中我们了解到这个值（ dθapprox[i]d\theta_{approx}[i]dθapprox[i] ）应该逼近 dθ[i]=∂J∂θid\theta[i]=\frac{\partial J}{\partial \theta_i}dθ[i]=∂θi∂J ， dθ[i]d\theta[i]dθ[i] 是代价函数的偏导数，然后你需要对 iii 的每个值都执行这个运算，最后得到两个向量，得到 dθd\thetadθ 的逼近值 dθapproxd\theta_{approx}dθapprox ，它与 dθd\thetadθ 具有相同维度，它们两个与 θ\thetaθ 具有相同维度，你要做的就是验证这些向量是否彼此接近。

具体来说，如何定义两个向量是否真的接近彼此？我一般做下列运算，计算这两个向量的距离， dθappprox[i]−dθ[i]d\theta_{appprox}[i]-d\theta[i]dθappprox[i]−dθ[i] 的欧几里得范数，注意这里（ ∣∣dθapprox−dθ∣∣2||d\theta_{approx}-d\theta||_2∣∣dθapprox−dθ∣∣2 ）没有平方，它是误差平方之和，然后求平方根，得到欧式距离，然后用向量长度归一化，使用向量长度的欧几里得范数。分母只是用于预防这些向量太小或太大，分母使得这个方程式变成比率，我们实际执行这个方程式， ϵ\epsilonϵ 可能为 10−710^{-7}10−7 ，使用这个取值范围内的 ϵ\epsilonϵ ，如果你发现计算方程式得到的值为 10−710^{-7}10−7 或更小，这就很好，这就意味着导数逼近很有可能是正确的，它的值非常小。

如果它的值在 10−510^{-5}10−5 范围内，我就要小心了，也许这个值没问题，但我会再次检查这个向量的所有项，确保没有一项误差过大，可能这里有bug。

如果左边这个方程式结果是 10−310^{-3}10−3 ，我就会担心是否存在bug，计算结果应该比小 10−310^{-3}10−3 很多，如果比 10−310^{-3}10−3 大很多，我就会很担心，担心是否存在bug。这时应该仔细检查所有 θ\thetaθ 项，看是否有一个具体的 iii 值，使得 dθappprox[i]d\theta_{appprox}[i]dθappprox[i] 与 dθ[i]d\theta[i]dθ[i] 大不相同，并用它来追踪一些求导计算是否正确，经过一些调试，最终结果会是这种非常小的值（10−710^{-7}10−7），那么，你的实施可能是正确的。

在实施神经网络时，我经常需要执行foreprop和backprop，然后我可能发现这个梯度检验有一个相对较大的值，我会怀疑存在bug，然后开始调试，调试，调试，调试一段时间后，我得到一个很小的梯度检验值，现在我可以很自信的说，神经网络实施是正确的。

现在你已经了解了梯度检验的工作原理，它帮助我在神经网络实施中发现了很多bug，希望它对你也有所帮助。

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