欧几里得算法

最大公约数

最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个，a，b的最大公约数记为（a，b）。求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。常用的是辗转相除法，也叫欧几里得算法

其计算原理依赖于下面的定理：

定理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数。最大公约数（Greatest Common Divisor）缩写为GCD
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)

证明：gcd(a, b) = gcd(b, a%b)

假设a, b的最大公约数为z

{a=z⋅mb=z⋅n\left\{ \begin{array}{c} a = z \cdot m\\ b = z \cdot n \end{array} \right. {a=z⋅mb=z⋅n

z为a，b的最大公约数，gcd(a, b) = z；且有m与n互质，否则z不为a，b的最大公约数
ab=p⋯r\frac{a}{b} = p \cdots rba=p⋯r
→a=bp+r\rightarrow a = bp + r→a=bp+r
→zm=znp+r\rightarrow zm = znp + r→zm=znp+r
→z(m−np)=r\rightarrow z(m - np) = r→z(m−np)=r
而 b=z⋅nb = z \cdot nb=z⋅n ⟶z⋅n=b\longrightarrow z \cdot n = b⟶z⋅n=b

{z(m−np)=rz⋅n=b\left\{ \begin{array}{c} z(m - np) = r \\ z \cdot n = b \end{array} \right. {z(m−np)=rz⋅n=b

要证 gcd(a, b) = gcd(b, a%b)
即证 b 与 a % b 的最大公约数也是z
即证 n 与 (m - np) 互质
利用反证法，假设 n 与 (m - np) 不互质，所以它们的最大公约数不为1，设为 k

{m−np=km′n=kn′\left\{ \begin{array}{c} m - np = km' \\ n = kn' \end{array} \right. {m−np=km′n=kn′

⇓\Downarrow ⇓

m−kn′p=km′→m=k(m′+n′p)m - kn'p = km' \\ \rightarrow m = k(m' + n'p) m−kn′p=km′→m=k(m′+n′p)

{m=k(m′+n′p)n=kn′\left\{ \begin{array}{c} m = k(m' + n'p) \\ n = kn' \end{array} \right. {m=k(m′+n′p)n=kn′

已知

{a=z⋅mb=z⋅n\left\{ \begin{array}{c} a = z \cdot m \\ b = z \cdot n \end{array} \right. {a=z⋅mb=z⋅n

代入得

{a=zk(m′+n′p)b=zk(n′)\left\{ \begin{array}{c} a = zk(m' + n'p) \\ b = zk(n') \end{array} \right. {a=zk(m′+n′p)b=zk(n′)

由假设得到 a，b 最大公约数 zk，与条件不符，所以**(m - np) 与 n 互质**
所以 b 与 a % b 的最大公约数也是z
所以 gcd(a, b) = gcd(b, a%b)

求解最大公约数的代码

int gcd(int a, int b) {if (b == 0)  return a;else  return gcd(a, a %b);
}

最小公倍数

两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数，整数a，b的最小公倍数记为[a，b]

关于最小公倍数与最大公约数，我们有这样的定理：(a, b) x [a, b] = ab

最小公倍数的求解是在最大公约数的基础上进行的，当得到 a 和 b 的最大公约数 z 后，可以得到 a 和 b 的最小公倍数是 (ab / z)，由于 ab 在实际计算中有可能溢出，因此更恰当的写法是 (a / z * b) 。由于 z 是 a 和 b 的最大公约数，所以 a / z 一定可以整除