正弦交流电信号机数学描述

正弦交流电在工农业生产及日常生活中应用得最为广泛。正弦交流电是指随时间按正弦规律作周期性变化的电压、电流等。

正弦信号的大小与方向都是随时间变化，信号在任一时刻的值，称为瞬时值。在指定的参考方向下，正弦电流、电压的瞬时值可表示为

i=ipsin(ωt+θi)

u=upsin (ωt+θu)

式中i、u表示正弦交流电在某一时刻的值，称瞬时值，i、u的波形图如图4-1所示。ip、up是正弦信号在整个变化过程中可能达到的最大幅值，称为振幅或最大值；(ωt+θi)是正弦信号的相位。ω称为角速度或角频率，单位是弧度/秒(rad/s),它表示正弦信号变化的快慢。

若知道了正弦信号的振幅、角频率和初相，就能完全确定它随时间变化的全过程，所以常称振幅、角频率和初相为正弦信号的三要素。

1频率和周期

正弦信号变化一周所需的时间称为周期t，周期t的单位是秒( s)，毫秒( ms)。

正弦量在单位时间内变化的周数称为频率f, 频率的单位是赫兹(hz)，当频率很高时，常用千赫兹(khz)或兆赫兹(mhz)作单位，其转换关系是：

1khz =103hz 1mhz =106hz

周期与频率的关系：

例1

频率为2mhz的正弦波的周期是多少？

解： f=2mhz t=1/f

t=1/2000000hz=0.0000005s=0.5μs

答：周期为0.5μs。

正弦量单位时间内变化的弧度数称为角频率ω，角频率ω的单位是弧度每秒（rad/s）。由于正弦信号变化一周，其相位变化2π弧度，因此，角频率与周期及频率的关系为：

我国和大多数国家都采用50 hz作为标准频率，美国、日本等一些国家采用60 hz作为电力标准频率。这种频率在工业用电上广泛采用，习惯上也称为工频。实验室用的通用信号源的频率大约从1--20×106hz左右.

t、f、ω都是表示正弦量变化快慢的量，三者中只要知道其中之一，就可求出其他二个量。

例2

我国普通家庭用工频额定为50hzz，求周期和角频率。

解：取频率的倒数：

=2×3.14×50=314 rad/s

2 相位差

正弦信号i=imsin(ωt+θi) ,其中(ωt+θi)称为是正弦信号的相位，t=0时的相位θi称为初相位，简称初相，单位是弧度(rad)或度(°)。通常规定初相在|θi|≤π范围内取值。

两个同频率正弦信号在任一时刻的相位之差称为相位差。假设一个正弦电流和正弦电压分别为

它们的相位之差称为相位差，用表示，即 :

由此可见，两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差。

如果=0，如图4-2(a)所示，称i,u同相。i,u同时达到最小值、零值与最大值。

如果＞0，如图4.2(b)所示，则表示随着t的增加，电压u要比电流i先到达最大值或最小值。这种关系称u超前于i或i滞后于u，其超前或滞后的角度是。

如果=π，如图4-2(c)所示，称i,u反相。

如果如图4-2(d)所示，称i,u正交。

例3

已知正弦电流i1、i2和正弦电压u分别为

i1=5sin(ωt+30°)a

i2=-10sin(ωt+45°)a

u=15cos(ωt+60°)v

试比较i1与i2、i1与u间的相位关系。

解: 比较两个正弦信号的相位关系时，除要求它们的频率或角频率相同外，还应注意信号的函数类型为正弦函数，以及瞬时表达式前面负号对相位的影响。由于

i2=-10sin(ωt+45°)=10sin(ωt-135°)

u=15cos(ωt+60°)=15sin(ωt+150°)

所以，i1与i2间的相位差为

1=30°-(-135°)=165°

i1与u间的相位差为

2=30°-150°=-120 °

3、有效值

交流电的正弦曲线有无限多的值，一个交流波形的量值可以用许多不同的方法来描述。最直观的方法是使用其最大值，如电压的最大值um，最大值也可称作峰值，峰值电压用up表示，因此有

um =up

对于对称波形的正半周期和负半周期的峰值是相等的。因此峰-峰值的大小是峰值大小的两倍。对于正弦交流电压

up-p=2up。

许多波形在电路中是不对称的。这样的波形既可以用峰值来描述也可以用峰-峰值来描述。当用峰值来描述时，我们必须指明是正半周期的峰值还是负半周期的峰值。

描述正弦交流电大小最常用的方法是有效值，正弦信号的有效值定义为：让正弦信号和直流电分别通过两个阻值相等的电阻。如果在相同的时间t内(t可取为正弦信号的周期)，两个电阻消耗的能量相等，那么，我们称该直流电的值为正弦信号的有效值。

当直流电流i流过电阻r时，该电阻在时间t内消耗的电能为

当正弦电流i流过电阻r时，在相同的时间 t 内，电阻消耗的电能为

根据有效值的定义wi=wi，有

于是，周期电流i的有效值为

因为正弦电流是周期电流，设正弦电流

i(t)=imsin(ωt+θi)

得

同样地，可求得正弦电压u=umsin(ωt+θu)的有效值为

通常用有效值表示交流电的大小。交流测量仪表指示的电流、电压读数一般都是有效值。各种交流设备铭牌上标出的额定值及交流仪表的指示值也都是有效值。例如交流电压220v、交流电流5a，在不作特殊说明的情况下，其电流电压值都是指有效值。

引入有效值以后，正弦电流和电压的表达式也可写成

例4

如果正弦波电压的峰-峰值是300v，那么它的电压有效值是多少？

解： up-p=300v

up-p=2up=2um

um =300v/2=150v

电压有效值为106.05v

例5

已知正弦电压源的频率为50hz，初相为π/6弧度，由交流电压表测得电源开路电压为220v。求该电源电压的振幅、角频率，并写出其瞬时值表达式。

解: 因为，

所以

因此，电源电压瞬时值表达式为

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