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1、计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),1、差分方程的一般形式 系统的输出Z传递函数与系统输入Z传递函数之比，当初始条件为零时，称为系统的Z传递函数。一般可表示为,利用Z变换基本性质中延迟移位定理，可写成差分方程,一般形式为： (3.25),计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),若系统的Z传递函数写成超前形式,当初始条件为零时,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),2、差分方程的求解,(1)迭代法 若看作数学问题求解，需考虑初始条件。 例3.8 已知差分方程为 设初始条件 ，求 。,解：将差分方程式写成递推形式 令 ，则 设 故,计算机控制系统的数学描述。

2、2(差分方程脉冲传递函数),令 继续令 k =3,4,- ，可求出k为任何整数时的输出 。 迭代法的缺点，难以写出通式 。,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),(2)Z变换法 在求解数学问题时，采用Z变换法也需考虑初始条件。 在利用Z变换的左移定理时，即,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),例3.9 用Z变换法解以下差分方程 初始条件为 ， 。,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),3.3 脉冲传递函数,1、脉冲传递函数(Z传递函数)的定义 在初始条件为零时，系统输出Z传递函数与输入Z传递函数之比，称为系统的脉冲传递函数，与连续系统一样，它仅取决于。

3、系统本身的结构参数，与输入信号无关。 (3.26),若已知系统的脉冲传递函数 ，系统输出的Z传递函数为 (3.27) 上述关系，如图3.2所示,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),输入信号 经采样后为 ，其Z变换为 ，但其输出为连续信号 ，为了用脉冲传递函数表示，可在输出端虚设一个与输入开关同步的采样开关，如图3.2(b)所示，这样系统变成了离散系统。,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),脉冲传递函数 的求法：,对 做拉氏反变换 ，求得脉冲响应。 对 采样，求得采样信号 (离散系统脉冲响应)。 对采样信号 进行拉氏变换，得 以上3式均可通用。,计算机控制系统的数。

4、学描述2(差分方程脉冲传递函数),2、差分方程与脉冲传递函数,已知差分方程为 或,延后形式：,超前形式：,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),如果差分方程为,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),如果差分方程为,并设所有初始条件均为零，得,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),3、开环脉冲传递函数,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),(a)连续输入与连续输出 (3.28) (b)连续输入与采样输出 (3.29) 星号交换原则1：等号两边都取星号，即 (3.30) (c)采样输入与采样输出 星号交换原则2：等号两边都取星号，对已有星号的。

5、可以移出括号之外，注意,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),(d)采样输入与连续输出 (3.31) 注意，此时 中包含有零阶保持环节 。,第2种、第4种情况，只能写出输出的表达式，不能写出它的脉冲传递函数。只有当输入信号和输出信号均有采样开关，即它们均为离散信号时，才能写出它们之间的脉冲传递函数。 能否得到脉冲传递函数，与采样开关的设置有关，也与观察的角度有关。,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),(2)串联环节的脉冲传递函数,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),对第1种情况：,类似，几个环节串联，且它们之间均有采样开关隔开，则可得,计算机控制系。

6、统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),对第2种情况，两个连续环节之间无采样开关，这样在输入与输出两个采样开关之间的连续函数为 ，可看作一个独立环节 。 类似，对几个无采样开关串联连接的情况，,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),这一点可通过实例说明：,设 : ，,注意：,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),(3)有零阶保持环节时的开环脉冲传递函数,实际上，采样信号要加到一个连续环节上时，一定要通过零阶保持环节。对计算机系统来说，计算机输出一定要通过D/A变换器(即零阶保持环节)。,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),什么是零阶保持环节？即保持一。

7、个采样周期的采样信号，如图3.6所示。,其中 为单位阶跃信号,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),(4)并联环节的脉冲传递函数,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),对图(a),计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),对图(b),结论：采样开关的位置可以等效移动,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),4闭环系统的脉冲传递函数,求取闭环系统脉冲传递函数时，应注意2点： (a)两个相邻采样开关之间的环节，为一个独立环节； (b)若闭环系统的输入信号未被采样(误差信号被采样除外)，则整个闭环系统的脉冲传递函数将写不出来。,计算机控制系统的数学描。

8、述2(差分方程脉冲传递函数),求图3.8所示系统的闭环脉冲传递函数,解：,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),闭环系统脉冲传递函数,分子是 与 之间是所有独立环节Z变换的乘积，分母是1加闭环回路所有独立环节Z变换的乘积(这里只有 一个独立环节 )，这是求闭环系统的一种方法。,星号变换方法：,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),例3.10 试推导图3.9所示系统的闭环脉冲传递函数,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),注意几点： 输入 也作为一个连续环节看待。 若 存在(被采样)，则公式(3.32)。

9、可写出闭环系 统的脉冲传递函数 ，否则，就写不出来。,结论：闭环系统的输出Z变换可按以下公式写出：,(3.32),计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),星号变换方法：,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),(a)只考虑 时 (3.33) 其中 (3.34),(b)只考虑 时 (3.35) (3.36) 从上式可见， 和 作用点不同，产生的输出响应也不同，但它们的分母是相同的。因为它们作用在同一回路，所以闭环系统的特征方程式是相同的。,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),用“星号”变换方法求解,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),两边取“星号”，得,代入后，得 这样，就不能求得,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),用“星号”变换方法： 可求得,计算机控制系统的数学描述2(差分方程脉冲传递函数),附加采样开关和零阶保持环节后，系统的特性基本不变，如图所示,“星号”变换规则4：附加采样开关后，再加一个零阶保持环节，系统的特性基本不变。