第三章 计算机控制系统的数学描述(修正Z变换)

* §3.4 修改Z变换 1．具有多采样频率系统 在某些控制系统中，存在着不同采样频率的采样开关，如图3.10所示。 图3.10 具有不同采样频率系统结构图 图3.10表示，该系统反馈回路的采样频率高一倍，这是为了要了解采样周期T之间的反馈信号，如图3.11所示。 ? 图3.11 具有采样周期为 的输出响应系统 具有 采样周期的采样信号可表示为 (3.37) (3.37)式表示在采样周期 与 之间包含有 个附加脉冲信号。 对(3.37)式两边进行采样信号的拉氏变换，得 (3.38) 分析图3.10所示，具有不同采样频率系统的方法，可以采用最低一个采样频率(即采用周期为T)的采样开关的N个并行环节连接，并经过超前/滞后处理，对图3.10所示系统可变为如图3.12所示。 ? ? 图3.12 与图3.10等效系统结构图 因为一个系统内不能有多种采样周期，否则无法求得系统的Z传递函数，移位定理也不能使用。 经过图3.12的处理，就可求得采样周期为 的传递函数，而系统中的采样周期都是为 T 。 其原理可用图3.12A来说明。为了说明清楚起见，设要求采样的波形为三角波，要实现 周期采样时，应将图3.12A(a)中峰值与谷值同时采样出来。 (a) (b) 图3.12 A 这样就可以应用通常Z变换的分析方法，从图3.12可写出Z传递函数表示式为 (3.39) (3.40) (3.41) 在(3.41)式中，右边第2项，因为延时为非整数，故不能应用移位定理处理，需要采用修改Z变换方法。 其中 2. 修改Z变换 从理论上讲，修改Z变换有两种形式，即超前和滞后两种。 (1)超前形式。 超前形式修改Z变换示意图，如图3.13所示。其中，图(a)为 的时间函数，图(b)为超前 T ( )的 的时间函数 b a 图3.13 超前形式修改Z变换图形 它的Z变换式为 (2)滞后形式 滞后形式修改Z变换示意图，如图3.14所示。类似 (3.42)式，滞后形式的Z变换式可写成 (3.43) 图3.14 滞后形式修改Z变换图形 (3.43)式在理论上似乎是正确的，但在分析中存在一定的问题，这可以下例进行说明。 例3.11 设滞后时间为 ，求 的修改Z变换式，根据(3.43)式，得 (3.44) 上式右边第1项是不应该存在的，因为函数 在 时是不存在的，怎么能产生Z变换式呢？ 为了解决滞后修改Z变换在分析中存在的困难，引入 (3.45) 因为 ，故 也是 ，将(3.45)式代入(3.43)中，得 (3.46)式定义为修改Z变换，记作 对例3.8重新进行计算，可得 (3.47) 利用(3.46)修改Z变换式，可对图3.12所示的系统写出闭环Z传递函数式。重写(3.39)式，即 (3.48) 其中 上式右边第2项可利用(3.46)式进行计算，即 查表法 将上述各式代入(3.48)式中，得 (3.49) 3. 具有N倍采样频率和不同采样频率的系统表达方法 (1)具有N倍采样频率系统的表达方法 设具有N倍采样频率系统，如图3.15所示，其中图3.15(a)为原理图，图3.15(b)为图3.15(a)的等效结构图。 ? ? (a) (b) 图3.15 具有N倍采样频率系统结构图 ? (2)具有不同采样频率系统的表达方法 设具有不同采样频率的系统，如图3.16所示。 ? (c) 图3.16 不同采样频率系统结构图 多个