【谈谈知识点】AC自动机

前言

一言不合就开坑，说的就是我~
之前觉得这东西挺难，然后某天早上花了一个半小时就学会了……

P.S:如果你诚心诚意的想学会AC自动机，一定要先去看懂KMP和Trie。
而且一定要好好理解KMP的next~

1.What is AC自动机？

就是通过不懈的努力，最终发明了自动帮你A题的算法
如果需要相关信息可以去百度百科一些知识，比如什么是自动机，什么是AC……

我在这里只说一下自己的看法：

从应用角度来说：这个东西主要用于解决多个串的匹配问题，最经典的例题就是：
找给定的n个串在给定的某文本中（出现了多少次）/（各出现多少次）

从算法角度来说：如同绝大多数人说的那样，这其实就是Trie树+KMP而已。

那么看这篇文章请随时记住几个关键词：
前缀、失配

2.How to do it？

我们还是搬出经典的例题：

给定n个模式串和1个文本串，求有多少个模式串在文本串里出现过。

有没有什么想法？
容易想到的暴力是跑n遍KMP，每个串配一次，或者是建个trie树，也是跑n遍。
不过这个数据范围一点也不友好：

∑ len(模式串)<=10⁶,length(文本串)<=10⁶；

这个时候AC自动机就发挥作用了，它的时间复杂度为 O（能过）
其实是我不会分析复杂度不信你看以前的也没有
那么构造一个AC自动机需要以下三步：

1、造一个Trie树

啊，对，就是造个Trie树，没有什么特殊的地方，老老实实insert就完了。

struct Node{int son[27],num;}node[N<<2];ivoid insert(char *c,int rank)
{int len=strlen(c),now=0;for(rint i=0;i<len;i++){int d=c[i]-'a';if(!node[now].son[d]){node[now].son[d]=++cnt;}now=node[now].son[d];}node[now].num++;
}

2、构造失配指针

AC自动机的重点难点就是在这个地方：怎样把KMP的失配指针的思想给用上？

①举例分析

我们来考虑一下上面那个例题在做的时候需要怎样的优化：

假设给定的模式串是：SHE HE HER SAY SHR
我们构建出来的Trie树该是这个样子
（图片来源：http://www.cnblogs.com/cjyyb/p/7196308.html）（另作了修改）

①假设我们的文本串是 SHA
那么按照常规方法，我们会检索到S，走S-H，失配，检索到H，走H-A。

现在失配指针就要派上用场了！我们希望S-H之后直接跳到旁边的H-A去，以此来节约时间。我们敢这么干的原因是什么?原因之一是因为两边都有H。

那么失配指针构造的显而易见的原则之一：出现相同字母

②假设我们的文本串是SHER
常规就不说了

这里的失配指针自然是从SHE的E指向HER的E。那么问题来了，我们能不能从HER的E跳到SHE的E呢？显然不行。

原因很简单，HER的前缀不一定有S，可能不符合匹配要求
（为什么说不一定，因为AC自动机进行的是多次匹配，是可能存在之前出现S的情况的）；

因而我们加失配指针的原则还有一个：从深度小的往深度大的加。

②代码实现

那么我们分析倒是分析了，实际构造又该怎样呢？我们结合代码，分段来看一看：

ivoid build()
{queue<int>q1;for(rint i=0;i<26;i++){if(node[0].son[i]){q1.push(node[0].son[i]); }}

在这里我们从根节点0开始，把它的所有子节点加入队列中。

 while(!q1.empty()){int now=q1.front();q1.pop();for(rint i=0;i<26;i++){if(node[now].son[i]){fail[node[now].son[i]]=node[fail[now]].son[i];q1.push(node[now].son[i]);}

此处正在对每一个点的儿子进行检索，如果有这个儿子，那么把他的失配指针指向他父亲的失配指针指向的点的对应儿子。

emm也许有些不好理解，我们分类讨论：
那么情况一：父亲失配指针指向的点没有这个儿子，也就是继续失配。由于空节点的编号和根节点编号相同，相当于是指向了根节点。
情况二：xxxx的点有这个儿子，那么我们可以通过失配指针跳过去，再度向下寻找可以继续匹配的节点，没有就继续跳……一直到匹配成功或者回到根节点。

（其实这个地方大家可以想一想前向星的存边方法，跟这个失配指针不断跳是很类似的~）

else node[now].son[i]=node[fail[now]].son[i];

啥啥啥？为啥你把儿子共用了？？？
其实这地方的朴素写法是这样的：

else fail[node[now].son[i]=node[fail[now]].son[i];

但是本身你这个儿子就是空的，如果我们在运行的时候通过失配指针跳到这里，会发现完全没法匹配（空节点哪里来的儿子），于是就继续往后跳。
这是白白浪费了时间。因此我们就直接共用子节点，只不过是从失配-跳一下fail-发现为空-继续跳fail-匹配成功，变成了直接匹配成功~

3、运行AC自动机

好了，树也有了，指针也好了，我们直接放上去跑就完事，不多说了：

//这是统计一共出现了多少个模式串
ivoid check(char *c)
{int len=strlen(c),now=ans=0;for(rint i=0;i<len;i++){now=node[now].son[c[i]-'a'];for(rint j=now;j&&node[j].num;j=fail[j]){ans+=node[j].num;node[j].num=0;}}
}

3、What can be solved?

AC自动机的运用范围主要是字符串相关，尤其是多串匹配的时候非常优秀，只不过面对某些毒瘤的要求或许需要改变统计的方法，或者是失配指针的构造法。
（其实最难的是看出这是AC自动机）

最后推荐一道AC自动机的好题，可以大程度加深对AC自动机的理解：
P2444 [POI2000]病毒 -