HNOI2015 亚瑟王

根据期望的线性性质，我们可以把本题的期望写成 ∑i=1ntp[i]∗d[i]\sum_{i=1}^ntp[i] * d[i]i=1∑ntp[i]∗d[i]
即每个数的实际可能被使用的概率乘上贡献，于是这题我们就把问题转化为如何求tp[i]tp[i]tp[i],首先我们考虑第一张牌，tp[1]=1−(1−p[i])rtp[1] = 1-(1 - p[i])^rtp[1]=1−(1−p[i])r，这个就是第一张牌始终憋着不出的概率，然后我们考虑第二张牌，我们发现在考虑第二张牌的时候，需要考虑第一张牌，没法算出tp[2]tp[2]tp[2]，所以我们考虑引入dpdpdp，我们设f[i][j]f[i][j]f[i][j]表示所有rrr轮中对于前iii张牌打出jjj张的概率，所以对于第iii张牌的实际使用概率tp[i]tp[i]tp[i]，我们会发现tp[i]=∑j=0rf[i−1][j]∗(1−(1−p[i])r−j)tp[i] = \sum_{j=0}^rf[i - 1][j]*(1 - (1 - p[i])^{r - j})tp[i]=j=0∑rf[i−1][j]∗(1−(1−p[i])r−j)在前i−1i - 1i−1张牌里我们已经有jjj轮是不用考虑第i张牌，对于剩下的r−jr - jr−j轮我们考虑第iii张牌，对于所有rrr轮情况求和，就是我们的tp[i]tp[i]tp[i]
然后我们推一下dpdpdp方程
对于f[i][j]f[i][j]f[i][j]我们考虑第iii张牌在不在这jjj张里
如果不在f[i][j]=∑j=0rf[i−1][j]∗(1−p[i])r−jf[i][j] = \sum_{j = 0}^rf[i - 1][j] * (1 - p[i])^{r - j}f[i][j]=j=0∑rf[i−1][j]∗(1−p[i])r−j
如果在f[i][j]=∑j=1rf[i−1][j−1]∗(1−(1−p[i])r−j+1)f[i][j] = \sum_{j = 1}^rf[i - 1][j - 1] * (1 - (1 - p[i])^{r - j + 1})f[i][j]=j=1∑rf[i−1][j−1]∗(1−(1−p[i])r−j+1)

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