【BZOJ4008】【HNOI2015】亚瑟王（DP，期望概率）

Description

小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了，洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。他决定，在脱坑之前，最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战，就一定要打得漂亮。众所周知，亚瑟王是一个看脸的游戏，技能的发动都是看概率的。

作为一个非洲人，同时作为一个前 OIer，小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已经多年没写过代码，连 Spaly都敲不对了，因此，希望你能帮帮小 K，让他感受一下当欧洲人是怎样的体验。

本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。玩家有一套卡牌，共 n张。游戏时，玩家将 n 张卡牌排列成某种顺序，排列后将卡牌按从前往后依次编号为 1 ~ n。本题中，顺序已经确定，即为输入的顺序。每张卡牌都有一个技能。第 i 张卡牌的技能发动概率为 pi，如果成功发动，则会对敌方造成di点伤害。也只有通过发动技能，卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因素以及小K非洲血统的考虑，pi不会为 0，也不会为 1，即 0 < pi < 1。一局游戏一共有 r 轮。在每一轮中，系统将从第一张卡牌开始，按照顺序依次考虑每张卡牌。在一轮中，对于依次考虑的每一张卡牌：

1如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能，则

1.1 如果这张卡牌不是最后一张，则跳过之（考虑下一张卡牌）；否则（是最后一张），结束这一轮游戏。

2否则（这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能），设这张卡牌为第 i 张

2.1将其以 pi的概率发动技能。

2.2如果技能发动，则对敌方造成 di点伤害，并结束这一轮。

2.3如果这张卡牌已经是最后一张（即 i 等于n），则结束这一轮；否则，考虑下一张卡牌。

请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。

Solution

考虑DP。
我们设fi,jfi,jf_{i,j}表示前iii张牌有j" role="presentation" style="position: relative;">jjj张发动的概率，gigig_i表示第iii张牌发动的概率，那么答案就是∑i=1ngidi" role="presentation" style="position: relative;">∑ni=1gidi∑i=1ngidi\sum_{i=1}^n g_i d_i。

我们现在来考虑如何转移。
1. 从fi−1,jfi−1,jf_{i-1,j}转移，那么第iii张牌有r−j" role="presentation" style="position: relative;">r−jr−jr-j次机会被发动但是最终没有发动，所以fi,j+=fi−1,j×(1−pi)r−jfi,j+=fi−1,j×(1−pi)r−jf_{i,j}+=f_{i-1,j}\times (1-p_i)^{r-j}
2. 从fi−1,j1fi−1,j1f_{i-1,j_1}转移，那么第iii张牌有r−j+1" role="presentation" style="position: relative;">r−j+1r−j+1r-j+1次机会被发动，其中有一次成功了，所以fi,j+=fi−1,j−1×(1−(1−pi)r−j+1)fi,j+=fi−1,j−1×(1−(1−pi)r−j+1)f_{i,j}+=f_{i-1,j-1}\times(1-(1-p_i)^{r-j+1})
3. gi=∑rj=0fi−1,j×(1−(1−pi)r−j)gi=∑j=0rfi−1,j×(1−(1−pi)r−j)g_i=\sum_{j=0}^r f_{i-1,j}\times (1-(1-p_i)^{r-j})

然而zjp有更简短的转移，真的太爷了！

Code

/************************************************* Au: Hany01* Date: Apr 9th, 2018* Prob: [BZOJ4008][HNOI2015] 亚瑟王* Email: hany01@foxmail.com
************************************************/#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
#define File(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout)
#define rep(i, j) for (register int i = 0, i##_end_ = (j); i < i##_end_; ++ i)
#define For(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i <= i##_end_; ++ i)
#define Fordown(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i >= i##_end_; -- i)
#define Set(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define x first
#define y second
#define pb(a) push_back(a)
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define ALL(a) (a).begin(), (a).end()
#define SZ(a) ((int)(a).size())
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define INF1 (2139062143)
#define Mod (1000000007)
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define y1 wozenmezhemecaiatemplate <typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
template <typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }inline int read()
{register int _, __; register char c_;for (_ = 0, __ = 1, c_ = getchar(); c_ < '0' || c_ > '9'; c_ = getchar()) if (c_ == '-') __ = -1;for ( ; c_ >= '0' && c_ <= '9'; c_ = getchar()) _ = (_ << 1) + (_ << 3) + (c_ ^ 48);return _ * __;
}const int maxn = 233, maxr = 133;int main()
{
#ifdef hany01File("bzoj4008");
#endifstatic double p[maxn][maxr], g[maxn], f[maxn][maxr];static int d[maxn];for (static int T = read(); T --; ){register int n = read(), r = read();For(i, 1, n) {scanf("%lf", &p[i][1]), d[i] = read(), p[i][0] = 1, p[i][1] = 1 - p[i][1];For(j, 2, r) p[i][j] = p[i][j - 1] * p[i][1];}Set(f, 0), Set(g, 0);f[1][0] = p[1][r], f[1][1] = g[1] = 1 - p[1][r];register double Ans = g[1] * d[1];For(i, 2, n) {For(j, 0, r) {g[i] += f[i - 1][j] * (1 - p[i][r - j]);f[i][j] += f[i - 1][j] * p[i][r - j];if (j) f[i][j] += f[i - 1][j - 1] * (1 - p[i][r - j + 1]);}Ans += g[i] * d[i];}printf("%.10lf\n", Ans);}return 0;
}
//自在飞花轻似梦，无边丝雨细如愁。
//    -- 秦观《浣溪沙·漠漠轻寒上小楼》