【BZOJ4008】【HNOI2015】亚瑟王 [期望DP]
亚瑟王
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Description
小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了,洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。
他决定,在脱坑之前,最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战,就一定要打得漂亮。
众所周知,亚瑟王是一个看脸的游戏,技能的发动都是看概率的。
作为一个非洲人,同时作为一个前 OIer,小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。
但他已经多年没写过代码,连 Spaly都敲不对了,因此,希望你能帮帮小 K,让他感受一下当欧洲人是怎样的体验。
本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。
玩家有一套卡牌,共 n张。游戏时,玩家将 n 张卡牌排列成某种顺序,排列后将卡牌按从前往后依次编号为 1~n。
本题中,顺序已经确定,即为输入的顺序。
每张卡牌都有一个技能。
第 i 张卡牌的技能发动概率为 pi,如果成功发动,则会对敌方造成di点伤害。也只有通过发动技能,卡牌才能对敌方造成伤害。
基于现实因素以及小K非洲血统的考虑,pi不会为 0,也不会为 1,即 0 < pi < 1。
一局游戏一共有 r 轮。
在每一轮中,系统将从第一张卡牌开始,按照顺序依次考虑每张卡牌。
在一轮中,对于依次考虑的每一张卡牌:
1 如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能,则
1.1 如果这张卡牌不是最后一张,则跳过之(考虑下一张卡牌);
否则(是最后一张),结束这一轮游戏。
2 否则(这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能),设这张卡牌为第 i 张
2.1 将其以 pi的概率发动技能。
2.2 如果技能发动,则对敌方造成 di点伤害,并结束这一轮。
2.3 如果这张卡牌已经是最后一张(即 i 等于n),则结束这一轮;
否则,考虑下一张卡牌。
请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。
Input
输入文件的第一行包含一个整数 T,代表测试数据组数。
接下来一共 T 组数据。
每组数据的第一行包含两个用空格分开的整数 n和r,分别代表卡牌的张数和游戏的轮数。
接下来 n 行,每行包含一个实数和一个整数,由空格隔开,描述一张卡牌。
第 i 行的两个数为 pi和 di,分别代表第 i 张卡牌技能发动的概率(实数)和技能发动造成的伤害(整数)。
保证 pi最多包含 4位小数,且为一个合法的概率。
Output
对于每组数据,输出一行,包含一个实数,为这套卡牌在这一局游戏中造成的伤害的期望值。
对于每一行输出,只有当你的输出和标准答案的相对误差不超过10^-8时——即|a-o|/a<=10-8时(其中a是标准答案,o是输出),你的输出才会被判为正确。
建议输出10位小数。
Sample Input
1
3 2
0.5000 2
0.3000 3
0.9000 1
Sample Output
3.2660250000
一共有 13 种可能的情况:
1. 第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能;
概率为 0.15,伤害为5。
2. 第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能;
概率为 0.315,伤害为3。
3. 第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮不发动技能;
概率为 0.035,伤害为2。
4. 第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能;
概率为 0.075,伤害为5。
5. 第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能;
概率为 0.0675,伤害为4。
6. 第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮不发动技能;
概率为 0.0075,伤害为3。
7. 第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能;
概率为 0.1575,伤害为3。
8. 第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能;
概率为 0.04725,伤害为4。
9. 第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮不发动技能;
概率为 0.11025,伤害为1。
10. 第一轮不发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能;
概率为 0.0175,伤害为2。
11. 第一轮不发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能;
概率为 0.00525,伤害为3。
12. 第一轮不发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能;
概率为 0.011025,伤害为1。
13. 第一轮不发动技能;第二轮亦不发动技能;
概率为 0.001225,伤害为0。
造成伤害的期望值为概率与对应伤害乘积之和,为 3.266025。
HINT
Main idea
有n个人,r轮游戏,每次从左到右依次进行操作,第i个人有p[i]的概率被选中,被选中了则产生d[i]贡献,结束该轮,询问期望贡献和。
Solution
期望DP题,转换思想,把所有的机会一起操作。
f[i][j]表示到第i个人得到了j个机会的概率,显然,如果i得到j个机会那么i-1也至少得到了j个机会。
如果i-1没有用机会,那么f[i][j]+=f[i-1][j]*p(i-1一个机会都没用),如果i-1用了机会,那么这轮就停止了,f[i][j]+=f[i-1][j+1]*p(i-1至少用了一个机会),因为事实上也只会算一个用掉的机会,所以是不会使得答案错误的。
Code
1 #include<iostream> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstdio> 4 #include<cstring> 5 #include<cstdlib> 6 #include<cmath> 7 using namespace std; 8 9 const int ONE=221; 10 11 int T; 12 int n,r; 13 double p[ONE]; 14 int d[ONE]; 15 double f[ONE][ONE]; 16 double Ans; 17 18 int get() 19 { 20 int res,Q=1; char c; 21 while( (c=getchar())<48 || c>57) 22 if(c=='-')Q=-1; 23 if(Q) res=c-48; 24 while((c=getchar())>=48 && c<=57) 25 res=res*10+c-48; 26 return res*Q; 27 } 28 29 double Quick(double a,int b) 30 { 31 double res=1.00; 32 while(b) 33 { 34 if(b&1) res=res*a; 35 a=a*a; 36 b>>=1; 37 } 38 return res; 39 } 40 41 int main() 42 { 43 T=get(); 44 while(T--) 45 { 46 Ans=0; 47 memset(f,0,sizeof(f)); 48 n=get(); r=get(); 49 for(int i=1;i<=n;i++) 50 { 51 scanf("%lf",&p[i]); 52 d[i]=get(); 53 } 54 55 f[0][r]=1.0; 56 for(int i=1;i<=n;i++) 57 for(int j=1;j<=r;j++) 58 { 59 f[i][j]+= f[i-1][j] * Quick(1-p[i-1],j); 60 f[i][j]+= f[i-1][j+1] * (1 - Quick(1-p[i-1],j+1)); 61 Ans+=f[i][j]*(1 - Quick(1-p[i],j))*d[i]; 62 } 63 64 printf("%lf\n",Ans); 65 } 66 }
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