C++——《算法分析》实验贰——最长公共子序列问题

实验目的：
1、理解动态规划算法的概念；
2、掌握动态规划算法的基本要素；
3、掌握设计动态规划算法的步骤；
4、通过应用范例学习动态规划算法的设计技巧与策略；

实验原理：
动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。

算法总体思想：
1)动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
2)与分治法不同的是，适合于用动态规划法求解的问题，经分解得到的子问题往往不是独立的。子问题中存在大量的公共子问题，在分治求解过程中被多次重复计算，保存计算结果，为后面的计算直接引用，减少重复计算次数这就是动态规划的基本思想。
3)用动态规划算法求解问题，可依据其递归式以自底向上的方式进行计算。在计算过程中，保存已解决的子问题的答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而避免大量重复计算，最终得到多项式时间算法。

动态规划基本步骤：

找出最优解的性质，并刻画其结构特征。
递归地定义最优值。
以自底向上的方式计算出最优值。
根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。

前三个步骤是动态规划算法的基本步骤。在只需求出最优值的情况，步骤四可以省去。若需要求最优解，则必须执行步骤四，根据所记录的信息，快速构造出最优解。

实验内容：
1、使用动态规划算法解决最长公共子序列问题：给定两个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最长公共子序列。。
2、通过上机实验进行算法实现。
3、保存和打印出程序的运行结果，并结合程序进行分析，上交实验报告。
实验代码：

#include<iostream>
#include<string>
#define s 100
using namespace std;
int b[s][s];
int c[s][s];
void longest(int m,int n,char text1[], char text2[])
{for (int i = 0; i <= m; i++)   c[i][0] = 0;for (int j = 0; j <= n; j++)   c[0][j] = 0;for (int i = 1; i <= m; i++){for (int j = 1; j <= n; j++){if (text1[i-1] == text2[j-1]){c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;b[i][j] = 1;  }else{if (c[i][j - 1] >= c[i - 1][j]){c[i][j] = c[i][j - 1];b[i][j] = 2;}else{c[i][j] = c[i - 1][j];b[i][j] = 3;}}}}
}
void print(string text1, int p, int q)
{if (p == 0 || q == 0) return;if (b[p][q] == 1){print(text1, p - 1, q - 1);cout << text1[p-1];}else if (b[p][q] == 2){print(text1, p , q-1);}else  print(text1, p-1, q );
}int main()
{char text1[s], text2[s];cout << "请输入第一个字符串：";cin >> text1;cout << "请输入第二个字符串：";cin >> text2;int m = strlen(text1);int n = strlen(text2);cout << "公共子序列为:";longest(m,n,text1, text2);print(text1, m, n);return 0;
}

实验结果：

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