实验3、最长公共子序列

问题描述与实验目的：

序列Z=<B，C，D，B>是序列X=<A，B，C，B，D，A，B>的子序列，相应的递增下标序列为<2，3，5，7>。

一般地，给定一个序列X=<x1,x2,…,xm>，则另一个序列Z=<z1,z2,…,zk是X的子序列，是指存在一个严格递增的下标序列〈i1,i2,…,ik〉使得对于所有j=1,2,…,k使Z中第j个元素zj与X中第ij个元素相同。

给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。

你的任务是：给定2个序列X、Y，求X和Y的最长公共子序列Z。

输入

输入文件中的第1行是一个正整数T，（0<T<=10），表示有T组测试数据。接下来是每组测试数据的描述，每组测试数据有3行。

测试数据的第1行有2个正整数m、n，中间用一个空格隔开，（0<m，n<50）；第2、3行是长度分别为m、n的2个序列X和Y，每个序列的元素间用一个空格隔开。序列中每个元素由字母、数字等构成。

输入直到文件结束。

输出

对输入中的每组测试数据，输出2行。先在一行上输出“Case #”，其中“#”是测试数据的组号（从1开始），再在第2行上输出这2个序列X、Y的最长公共子序列Z的长度及子序列Z（至少一个）。

实验结果：

输入样例

2

7 6

A B C B D A B

B D C A B A

8 9

b a a b a b a b

a b a b b a b b a

输出

Case 1

4 LCS(X,Y):B C B A

Case 2

6 LCS(X,Y):a b a b a b

实验报告要求:

1．先分析要点、写出动态方程

2．提供能正确运行的程序，有注释。要有一般性，即可同时处理若干组数据，每组3行。如有潜能，写程序找出所有的最长公共子序列。

3．设计、调试中的问题及实验体会。

要求：个人可根据自己情况进行选择，验收时根据完成情况评分

第一层次铜牌要求（基本要求），能输出最长公共子序列的长度（通过在线判题系统）；

第二层次银牌要求，在输出最长公共子序列的长度的基础上，再输出表格c表和b表，并输出一条最长公共子序列；

第三层次金牌要求，在铜牌要求的基础上，输出全部的最长公共子序列。

解答：

1. 分析

最长公共子序列具有最优子结构性质：

设 X=x1,x2, …… xm 和 Y=y1,y2, …… yn 的最长公共子序列为

Z=z1,z2, …… zk , 则

若xm=yn ，则zk=xm=yn ，且Zk-1 是 Xm-1 和 Yn-1的最长公共子序列。
若xm≠yn ，则zk≠xm ，则Zk-1 是 Xm-1 和 Yn的最长公共子序列。
若xm≠yn ，则zk≠yn ，则Zk-1 是 Xm 和 Yn-1的最长公共子序列。

2. 动态规划方程：

用c[i][j]记录序列X和Y的最长公共子序列长度。

当i=0或j=0时，c[i][j]=0；

递归关系如下：

代码解析：

本代码实现了金牌算法：所有最长公共子序列的输出，并进行了去重复操作。

关键代码如下：

//1. 求最长公共子序列长度代码：
void LCSLength(int m, int n, char* x, char* y, int** c, int** b)
{int i, j;for (i = 1; i <= m; i++){c[i][0] = 0;}for (j = 1; j <= n; j++){c[0][j] = 0;}for (i = 1; i <= m; i++)for (j = 1; j <= n; j++){if (x[i] == y[j]) {c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;b[i][j] = 1;}else if (c[i - 1][j] > c[i][j - 1]){c[i][j] = c[i - 1][j];b[i][j] = 2;}else if (c[i - 1][j] < c[i][j - 1]){c[i][j] = c[i][j - 1];b[i][j] = 3;}else{c[i][j] = c[i - 1][j];b[i][j] = 4;}}
}
//2. 构造输出
void LCS(int i, int j, char* x, int** b, vector<string>& out,int &flag,int &index)
{if (i == 0 || j == 0){out[index] += "\n";return;}if (b[i][j] == 1){LCS(i - 1, j - 1, x, b, out,flag,index);out[index] += x[i];out[index] += " ";}else if (b[i][j] == 2)LCS(i - 1, j, x, b, out,flag,index);else if (b[i][j] == 3)LCS(i, j - 1, x, b, out,flag,index);else{LCS(i - 1, j, x, b, out,flag,index);b[i][j] = 3;flag++;}
}

3. 程序调试及实验截图：

所有最长公共子序列，输出结果如下，源代码随附录附上：

4. 体会：

本题如登山一样，不同要求有不同难度，例如在实现输出最长公共子序列长度，只需要一个小时即可，而实现输出一个最长公共子序列，则耗费了3小时，最后将所有最长公共子序列一个不少，一个不重复的输出，则耗费了近6个消失。
这类递归算法，弄清整个过程是解题的关键，哪个变量会产生不同的答案，采用什么样的解决方法，在实现本题过程中，我都有相应的学习和体会。

5. 源代码及注释：

#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;void LCSLength(int m, int n, char* x, char* y, int** c, int** b)
{int i, j;for (i = 1; i <= m; i++){c[i][0] = 0;}for (j = 1; j <= n; j++){c[0][j] = 0;}for (i = 1; i <= m; i++)for (j = 1; j <= n; j++){if (x[i] == y[j]) {c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;b[i][j] = 1;}else if (c[i - 1][j] > c[i][j - 1]){c[i][j] = c[i - 1][j];b[i][j] = 2;}else if (c[i - 1][j] < c[i][j - 1]){c[i][j] = c[i][j - 1];b[i][j] = 3;}else{c[i][j] = c[i - 1][j];b[i][j] = 4;}}
}void LCS(int i, int j, char* x, int** b, vector<string>& out,int &flag,int &index)
{if (i == 0 || j == 0){out[index] += "\n";return;}if (b[i][j] == 1){LCS(i - 1, j - 1, x, b, out,flag,index);out[index] += x[i];out[index] += " ";}else if (b[i][j] == 2)LCS(i - 1, j, x, b, out,flag,index);else if (b[i][j] == 3)LCS(i, j - 1, x, b, out,flag,index);else{LCS(i - 1, j, x, b, out,flag,index);b[i][j] = 3;flag++;}
}int flag_out = 0;  //总输出变量int main() {int num=0;//确定输入几组数据int m, n,flag=0;               //flag是b=4时候，返回的标记cin >> num;vector<string> out(40);for (int i = 0; i < num; i++)       //输入数据，同时处理{out[flag_out] += "\nCase " + to_string(i+1)+"\n";cin >> m >> n;char* x = new char[m + 1];char* y = new char[n + 1];int** c = new int* [m + 1];int** b = new int* [m + 1];for (int j = 0; j <= m; j++){c[j] = new int[n + 1];b[j] = new int[n + 1];}for (int j = 1; j <= m; j++)cin >> x[j];    //Y数组for (int j = 1; j <= n; j++)cin >> y[j];      //Y数组//从x开始先删去元素LCSLength(m, n, x, y, c, b);out[flag_out] += to_string(c[m][n]) + " LCS(X,Y):";flag_out++;for(int i=0;i<=flag;i++,flag_out++)LCS(m, n, x, b, out, flag,flag_out);//从y开始先删去元素LCSLength(m, n, y, x, c, b);for (int i = 0; i <= flag; i++, flag_out++){LCS(m, n, y, b, out, flag, flag_out);}}for (int i = 0; i < out.size(); i++)for(int j=i+1;j< out.size();j++)if (out[i] == out[j]){out.erase(out.begin() + j);j--;}for (int i = 0; i < out.size(); i++)cout << out[i];return 0;
}

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