我们用Ax表示序列A的连续前x项构成的子序列，即Ax= a1,a2,……ax, By= b1,b2,……by, 我们用LCS(x, y)表示它们的最长公共子序列长度，那原问题等价于求LCS(m,n)。为了方便我们用L(x, y)表示Ax和By的一个最长公共子序列。
让我们来看看如何求LCS(x, y)。我们令x表示子序列,考虑最后一项第（1）种情况：Ax ＝ By
那么它们L(Ax, By)的最后一项一定是这个元素！
为什么呢？为了方便，我们令t=Ax=By, 我们用反证法：假设L(x,y)最后一项不是t，
则要么L(x,y)为空序列（别忘了这个），要么L(x,y)的最后一项是Aa＝Bb ≠ t, 且显然有a<x,b<y。无论是哪种情况我们都可以把t接到这个L(x,y)后面,从而得到一个更长的公共子序列。矛盾！
如果我们从序列Ax中删掉最后一项ax得到Ax-1,从序列By中也删掉最后一项by得到By-1，(多说一句角标为0时，认为子序列是空序列)，则我们从L(x,y)也删掉最后一项t得到的序列是L(x – 1, y - 1)。为什么呢？和上面的道理相同，如果得到的序列不是L(x - 1, y - 1)，则它一定比L(x - 1, y - 1)短，那么它后面接上元素t得到的子序列L(x,y)也比L(x - 1, y - 1)接上元素t得到的子序列短，这与L(x, y)是最长公共子序列矛盾。
因此L(x,y)=L(x-1,y-1)最后接上元素t，也就是说：
LCS(Ax, By) = LCS(x - 1, y - 1) + 1第（2）种情况：Ax ≠ By
仍然设t=L(Ax,By)的最后一个字符,或者L(Ax,By)是空序列（这时t是未定义值不等于任何值）。
则t≠Ax和t≠By至少有一个成立，因为t不能同时等于两个不同的值嘛！
（2.1） 如果t≠Ax，则有L(x,y)=L(x-1,y)，因为根本没Ax的事嘛。也就是说：LCS(x,y) = LCS(x – 1, y)
（2.2） 如果t≠By,同理有L(x,y)= L(x,y-1)。也就是说：LCS(x,y) = LCS(x, y – 1)
可是，我们事先并不知道t，由定义，我们取最大的一个，因此这种情况下,有LCS(x,y)=max(LCS(x–1,y),LCS(x,y–1))。看看目前我们已经得到了什么结论：
LCS(x,y) = (1) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax ＝ By(2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By
这是一个显然的递推式，光有递推可不行，初值是什么呢？
显然，一个空序列和任何序列的最长公共子序列都是空序列！所以我们有:
LCS(x,y) = (1) LCS(x - 1,y - 1) + 1     如果Ax ＝ By(2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1))     如果Ax ≠ By(3) 0     如果x=0或者y=0到此我们求出了计算最长公共子序列长度的递推公式。我们实际上计算了一个(n + 1)行(m + 1)列的表格（行是0..n，列是0..m)，也就这个二维度数组LCS(n,m)。

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <string.h>
 3 #include <stdlib.h>
 4 int LCSLength(char* str1, char* str2, int **b)
 5 {
 6     int i,j,length1,length2,len;
 7     length1 = strlen(str1);
 8     length2 = strlen(str2);
 9
10     //双指针的方法申请动态二维数组
11     int **c = new int*[length1+1]; //共有length1+1行
12     for(i = 0; i < length1+1; i++)
13         c[i] = new int[length2+1];//共有length2+1列
14
15     for(i = 0; i < length1+1; i++)
16         c[i][0]=0;        //第0列都初始化为0
17     for(j = 0; j < length2+1; j++)
18         c[0][j]=0;        //第0行都初始化为0
19
20     for(i = 1; i < length1+1; i++)
21     {
22         for(j = 1; j < length2+1; j++)
23         {
24             if(str1[i-1]==str2[j-1])//由于c[][]的0行0列没有使用，c[][]的第i行元素对应str1的第i-1个元素
25             {
26                 c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
27                 b[i][j]=0;          //输出公共子串时的搜索方向
28             }
29             else if(c[i-1][j]>c[i][j-1])
30             {
31                 c[i][j]=c[i-1][j];
32                 b[i][j]=1;
33             }
34             else
35             {
36                 c[i][j]=c[i][j-1];
37                 b[i][j]=-1;
38             }
39         }
40     }
41     /*
42     for(i= 0; i < length1+1; i++)
43     {
44     for(j = 0; j < length2+1; j++)
45     printf("%d ",c[i][j]);
46     printf("\n");
47     }
48     */
49     len=c[length1][length2];
50     for(i = 0; i < length1+1; i++)    //释放动态申请的二维数组
51         delete[] c[i];
52     delete[] c;
53     return len;
54 }
55 void PrintLCS(int **b, char *str1, int i, int j)
56 {
57     if(i==0 || j==0)
58         return ;
59     if(b[i][j]==0)
60     {
61         PrintLCS(b, str1, i-1, j-1);//从后面开始递归，所以要先递归到子串的前面，然后从前往后开始输出子串
62         printf("%c",str1[i-1]);//c[][]的第i行元素对应str1的第i-1个元素
63     }
64     else if(b[i][j]==1)
65         PrintLCS(b, str1, i-1, j);
66     else
67         PrintLCS(b, str1, i, j-1);
68 }
69
70 int main(void)
71 {
72     char str1[100],str2[100];
73     int i,length1,length2,len;
74     printf("请输入第一个字符串：");
75     gets(str1);
76     printf("请输入第二个字符串：");
77     gets(str2);
78     length1 = strlen(str1);
79     length2 = strlen(str2);
80     //双指针的方法申请动态二维数组
81     int **b = new int*[length1+1];
82     for(i= 0; i < length1+1; i++)
83         b[i] = new int[length2+1];
84     len=LCSLength(str1,str2,b);
85     printf("最长公共子序列的长度为：%d\n",len);
86     printf("最长公共子序列为：");
87     PrintLCS(b,str1,length1,length2);
88     printf("\n");
89     for(i = 0; i < length1+1; i++)//释放动态申请的二维数组
90         delete[] b[i];
91     delete[] b;
92     system("pause");
93     return 0;
94 }

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 using namespace std;
 4 char sz1[5005];
 5 char sz2[5005];
 6 int maxLen[2][5005];
 7 int main()
 8 {
 9     int i,j,length1,length2,cur=0;
10
11     while( cin >> sz1 >> sz2 )
12     {
13         length1 = strlen( sz1);
14         length2 = strlen( sz2);
15         for( i=0;i<2; i++ ) maxLen[i][0]=0;
16         for( j=0;j<=length2;j++ ) maxLen[0][j]=0;
17         cur=0;
18
19         for( i = 1;i <= length1;i ++ )
20         {
21             cur ^= 1;
22             for( j = 1; j <= length2; j ++ )
23             {
24                 if( sz1[i-1] == sz2[j-1] )
25                     maxLen[cur][j] = maxLen[cur^1][j-1] + 1;
26                 else
27                     maxLen[cur][j] = max(maxLen[cur][j-1],maxLen[cur^1][j]);
28             }
29         }
30         cout << maxLen[cur][length2] << endl;
31     }
32     return 0;
33 }