求解最大公约数以及最小公倍数

最大公约数和最小公倍数求解，常用的方法是短除法进行因式分解，然后最大公约数是所有公共因子的乘积，最小公倍数是所有因子的乘积。
本质上求最小公倍数就是求最大公倍数：x=m*a， y=m*b；m是最大公约数，那最小公倍数就是m*a*b。所以可以得到最大公约数与最小公倍数的关系：

LCM(A,B) × GCD(A,B)=A × B
其中LCM是最小公倍数，GCD是最大公约数

来源：https://blog.csdn.net/Holmofy/article/details/76401074
作者总结出来的结论非常的有用，我们后续就根据这个思路去写算法。

辗转相除法（欧几里得算法）求最大公约数

辗转相除法：辗转相除法，又名欧几里德算法（Euclidean algorithm），是求最大公约数的一种方法。它的具体做法是：用较大数除以较小数，除数去除出现的余数（第一余数），再用第一余数去除出现的余数（第二余数），如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。
来源：https://baike.baidu.com/item/辗转相除法/4625352?fr=aladdin

注：百度百科里面的描述好像不对。大家可以比较下

具体算法如下：

int max_gcd(int a,int b){if (a <= 0 || b <= 0) {printf("please > 0\n");return -1;}if (a<b) {int tmp = a;a= b;b = tmp;}int r;while (a%b > 0) {r = a%b;a = b;b = r;}return b;
}

辗转相除法的时间复杂度：我们已知斐波纳契数列增长速度是指数,那么待分析的数列也是指数增长.设欧几里得算法需要k次,那么j=O(2^k),则k=O(lg j).

结合文章开头对于公约数的概念，我这边还有另外的一种方案去实现，具体代码如下：

int max_gcd1(int a,int b){if (a <= 0 || b <= 0) {printf("please > 0\n");return -1;}if (a<b) {int tmp = a;a= b;b = tmp;}int max = 1;for (int i = 1; i<=b; i++) {if (b%i == 0 && a%i == 0) {int tmpMax = max * i;if (tmpMax <= b) {if (b%tmpMax == 0 && a%tmpMax == 0){max = tmpMax;i = tmpMax;}else{max = i;}}else{max = i;}}}return max;
}

大家可以清晰的感觉到无论是从运算的速度，以及逻辑的清晰度来说，辗转相除法都有非常大的优势。

在网上搜了一下，发现我国古代数学家提出了一个更相减损法的算法去求最大公约数。描述如下：
　第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
　　第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
　　则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
　　根据描述，我这边实现如下：

int max_gcd2(int a,int b){int c = 1;while (a%2 == 0 && b%2 == 0) {c *= 2;a = a/2;b = b/2;}while (a != b) {if (a > b) {a = a - b;}else{b = b - a;}}return a * c;}

两种算法的区别

（1）两者都是求最大公因数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。
转载地址：https://blog.csdn.net/Holmofy/article/details/76401074

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