【HNOI2016】序列【莫队】【单调栈】【ST表】

题意：给定序列 aia_iai，qqq 次询问 [l,r][l,r][l,r] 所有子区间最小值之和。

n,q≤105n,q\leq 10^5n,q≤105

这种题一眼看上去是离线线段树，但这题每移动一位要维护区间取 min⁡\minmin，历史值之和，非常不可做。

所以考虑莫队。

考虑移动一位产生的贡献。以向右扩展一位为例，我们要求的是这个东西：

∑i=lrrmq⁡(i,r+1)\sum_{i=l}^r\operatorname{rmq}(i,r+1)i=l∑rrmq(i,r+1)

这显然是个单调栈的形式。维护单调栈内的所有贡献，但十分精神污染，并且单调栈既不能删除也不能撤销，

智商分割线

考虑我们要求的到底是什么。设 preipre_iprei 为 iii 前面最后一个比它小的数的位置，那么这个数产生的贡献是 ai(i−prei)a_i(i-pre_i)ai(i−prei)。

而这么下去只有单调栈中的第一个，也就是区间最小值产生的贡献是不完整的。维护一个以 preipre_iprei 为 fafafa 数组的树的树上前缀和，然后 ST 表查到最小值，把多余的部分减掉即可。

复杂度 O(nlog⁡n+mlog⁡m+nm)\Omicron(n\log n+m\log m+n\sqrt m)O(nlogn+mlogm+nm)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define MAXN 100005
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{int ans=0,f=1;char c=getchar();while (!isdigit(c)) (c=='-')&&(f=-1),c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return f*ans;
}
int a[MAXN],pre[MAXN],suf[MAXN],stk[MAXN],tp;
int st[MAXN][20],LOG[MAXN];
ll psum[MAXN],ssum[MAXN];
inline int Min(const int& x,const int& y){return a[x]<a[y]? x:y;}
inline int rmq(int l,int r)
{int t=LOG[r-l+1];return Min(st[l][t],st[r-(1<<t)+1][t]);
}
inline ll calcL(int l,int r)
{int pos=rmq(l-1,r);return ssum[l-1]-ssum[suf[pos]]-(ll)(suf[pos]-r-1)*a[pos];
}
inline ll calcR(int l,int r)
{int pos=rmq(l,r+1);return psum[r+1]-psum[pre[pos]]-(ll)(l-pre[pos]-1)*a[pos];
}
int B;
struct query{int l,r,pos;}q[MAXN];
inline bool operator <(const query& a,const query& b){return a.l/B==b.l/B? a.r<b.r:a.l<b.l;}
ll res[MAXN];
int main()
{int n,m;n=read(),m=read();LOG[0]=-1;for (int i=1;i<=n;i++) LOG[i]=LOG[i>>1]+1;for (int i=1;i<=n;i++) a[st[i][0]=i]=read();for (int j=1;j<20;j++)for (int i=1;i+(1<<(j-1))<=n;i++)st[i][j]=Min(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);for (int i=1;i<=n;i++){while (tp&&a[i]<a[stk[tp]]) --tp;pre[i]=stk[tp],psum[i]=psum[stk[tp]]+(ll)(i-stk[tp])*a[i],stk[++tp]=i;}tp=0;stk[0]=n+1;for (int i=n;i>=1;i--){while (tp&&a[i]<a[stk[tp]]) --tp;suf[i]=stk[tp],ssum[i]=ssum[stk[tp]]+(ll)(stk[tp]-i)*a[i],stk[++tp]=i;}B=sqrt(n);for (int i=1;i<=m;i++) q[i].l=read(),q[i].r=read(),q[i].pos=i;sort(q+1,q+m+1);int l=1,r=0;ll sum=0;for (int i=1;i<=m;i++){while (r<q[i].r) sum+=calcR(l,r++);while (l>q[i].l) sum+=calcL(l--,r);while (r>q[i].r) sum-=calcR(l,--r);while (l<q[i].l) sum-=calcL(++l,r);res[q[i].pos]=sum;}for (int i=1;i<=m;i++) printf("%lld\n",res[i]);return 0;
}

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