矩阵标准型的系数是特征值吗_高等代数|第五章二次型二次型及其标准型

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本文主要就二次型及其标准型中最基础的概念进行总结归类，这一点是考研中的基础题目，也是一个考研中大家容易忽略的一个板块，有时候容易出现计算错误，大家一定要注意，把这一块练好，希望大家予以重视.

定义1.数域K上的一个n元二次型是系数在K中的n个变量的二次齐次多项式，它的一般形式是

(1)式也可以写成

其中

我们把(2)式中的系数按照原来顺序排列成一个n级矩阵A:

则称 A 是二次型

的矩阵，它是对称矩阵.

令

则二次型(1)可以写成

其中 A 是二次型

的矩阵.

令

设C是数域K上的n级可逆矩阵，则关系式

称为变量

到

的一个非退化线性变换.

n 元二次型 X'AX 经过非退化线性替换 X=CY 变成

记

则 (7) 式可写成这是变量的一个二次型，由于

因此B是对称矩阵，从而B正好是二次型Y'BY的矩阵.

数域K上的两个n元二次型X'AX和Y'BY，如果存在一个非退化线性替换

把 X’AX 变成 Y’BY, 那么称二次型 X’AX 和 Y’BY 等价，记作

数域K上的两个n级矩阵A与B，如果存在K上的一个n级可逆矩阵C，使得

那么称A与B合同，记作

命题1. 数域K上的两个n元二次型X'AX和Y'BX等价当且仅当n级对称矩阵A与B合同.

命题2. 实数域上的n元二次型X'AX有一个标准形为

其中

是 A 的全部特征值.

例1.作非退化线性替换把数域K上的下述二次型化成标准型，并且写出所作的非退化线性替换：
(1)

(2)

解：用配方法把变量

逐个地配成完全平方的形式：

令

则

所作的线性替换为

其系数矩阵的行列式为

因此这个线性替换是非退化的.
(2)留给大家自己做练习.

引理1. 设A,B都是数域K上的n级矩阵，则A合同于B当且A经过一系列成对初等行，列变换可以变成B，此时对E只作其中的初等列变换得到的可逆矩阵C，就使得

定理1.数域K上任一对称矩阵都合同于一个对角矩阵.

定理2. 数域K上任一n元二次型都等价于一个只含平方项的二次型.

定理3. 数域K上n元二次型X'AX的任一标准型中，系数不为0的平方项个数等于它的矩阵A的秩.

证明：设X'AX经过非退化线性替换X=CY化成标准形

其中都不为则

因此

二次型 X'AX 的矩阵 A 的秩就称为二次型 X'AX 的秩.

例2. 用正交替换把下述实二次型化成标准形：

解: 这个实二次型的矩阵A为

A的全部特征值为是2,5,-1.

分别对特征值2,5,-1,求出相应的齐次线性方程组的一个基础解系，并且把它们分别单位化可得：

令

则 T为正交矩阵，且

令

则

岩宝小提示：根据特征值求特征向量我们将会在后续给大家讲解.

例3. 设A是数域K上的n级矩阵，证明：A是斜对称矩阵当且仅当对于中任一列向量有 .

证明：
必要性设A是斜对称矩阵，则A'=-A.于是

又因为是 1 级矩阵，因此

从而可得

即

充分性设 A 的列向量组为

由己知条件可知

因此A是斜对称矩阵.

岩宝小提示：我们在证明充分性的时候，利用了基本矩阵的乘法规律，由于

因此由于因此有由此看出,为了单独取出A的(i,i)元,应当用左乘A, 右乘A, 即

类似地，为了单独取出A的(i, j)元 ,应当计算

它就等于

岩宝同步思考练习

1.设

为数域F上的一个二次型，A为这个二次型的矩阵，为矩阵A的一个特征值.证明：存在不全为0的数使得

2.设A为一个 n 阶实对称矩阵,|A|<0.证明: 必存在实n维列向量

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