【线性代数笔记】矩阵的合同关系

定义设A,BA,BA,B为nnn阶矩阵,如果∃n\exists n∃n阶可逆矩阵CCC，使得CTAC=BC^TAC=BCTAC=B，则称矩阵AAA与BBB合同，并称由AAA到B=CTACB=C^TACB=CTAC的变换为合同变换。
性质自反性、对称性、传递性。

定理1 若AAA与BBB合同，则r(A)=r(B)r(A)=r(B)r(A)=r(B)，即AAA与BBB等价。

定理2（惯性定理） 将二次型化为标准型不改变其正惯性指数和负惯性指数。

定义若一个二次型经由合同变换化为另一个二次型，则称这两个二次型是等价的二次型。

定理3 两个同阶实对称矩阵A,BA,BA,B合同⟺\Longleftrightarrow⟺A,BA,BA,B的正负特征值个数（惯性指数）对应相同。

证明：
必要性：即为定理2。
充分性：A,BA,BA,B的正负特征值个数对应相同⟹\Longrightarrow⟹A,BA,BA,B的规范型相同。设该规范型的矩阵为Λ\LambdaΛ，则A,BA,BA,B分别与Λ\LambdaΛ合同，因此A,BA,BA,B合同。

注意：矩阵合同不要求实对称，但正定矩阵一定是实对称的。
总结：合同变换不改变惯性指数，相似变换不改变特征值（及它们在对角矩阵中的顺序）。

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