近世代数--主理想--主理想的组成

博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。

环的特殊子环–理想，类似群的特殊子群–正规子群；
群从正规子群开始，定义商群，得到群的同态定理；
环也是类似的，从理想开始，定义商环，得到环的同态定理。

理想ideal：III

设RRR为环，III为RRR的非空子集，如果III满足
- ∀r1,r2∈I,\forall r_1,r_2\in I,∀r1,r2∈I,有r1−r2∈Ir_1-r_2\in Ir1−r2∈I
- ∀r∈I,s∈R,rs∈I→\forall r\in I,s\in R,rs\in I\rightarrow∀r∈I,s∈R,rs∈I→左理想left ideal
- ∀r∈I,s∈R,sr∈I→\forall r\in I,s\in R,sr\in I\rightarrow∀r∈I,s∈R,sr∈I→右理想right ideal
记作I◃RI\triangleleft RI◃R，III为RRR的理想。
平凡理想trivial ideal：{0}\{0\}{0}和RRR本身是RRR的平凡理想。
真理想proper ideal：I◃RI\triangleleft RI◃R，I⫋RI\subsetneqq RI⫋R，称III为RRR的真理想。
理想例子：求ZZZ的所有理想

设III为ZZZ的理想，则由理想的定义知：∀r∈I,s∈I⊂R,rs∈I,sr∈I→\\\forall r\in I,s\in I \subset R,rs\in I,sr\in I\\\rightarrow∀r∈I,s∈I⊂R,rs∈I,sr∈I→乘法封闭，又有∀r1,r2∈I,\forall r_1,r_2\in I,∀r1,r2∈I,有r1−r2∈Ir_1-r_2\in Ir1−r2∈I，即减法封闭→I\\\rightarrow I→I为ZZZ的子环，即理想→\rightarrow→子环

在ZZZ的子环是dZ,d∈Z,d≥0dZ,d\in Z,d\ge0dZ,d∈Z,d≥0中有证明ZZZ的子环存在惟一表示，I={dZ∣d∈Z,d≥0}I=\{dZ|d\in Z,d\ge0\}I={dZ∣d∈Z,d≥0}，即我们从ZZZ的子环I={dZ∣d∈Z,d≥0}I=\{dZ|d\in Z,d\ge0\}I={dZ∣d∈Z,d≥0}中找ZZZ的理想。

∀r=dx,s=dy∈I,x,y,z∈Z,r−s=dx−dy=d(x−y)∈dZ=I,rz=(dx)z=d(xz)∈dZ=I,zr=z(dx)=d(xz)∈dZ=I,\forall r=dx,s=dy\in I,x,y,z\in Z,\\r-s=dx-dy=d(x-y)\in dZ=I,\\rz=(dx)z=d(xz)\in dZ=I,\\zr=z(dx)=d(xz)\in dZ=I\\,∀r=dx,s=dy∈I,x,y,z∈Z,r−s=dx−dy=d(x−y)∈dZ=I,rz=(dx)z=d(xz)∈dZ=I,zr=z(dx)=d(xz)∈dZ=I,所以I={dZ,d∈Z,d≥0}I=\{dZ,d\in Z,d\ge 0\}I={dZ,d∈Z,d≥0}为ZZZ的理想，即III为ZZZ的理想↔I\leftrightarrow I↔I为ZZZ的子环，ZZZ的所有理想为dZ,d∈Z,d≥0dZ,d\in Z,d\ge 0dZ,d∈Z,d≥0。
主理想principal ideal：<a><a><a>
a∈R,Ra\in R,Ra∈R,R中包含元素aaa的全部理想的集合：∑={I◃R∣a∈I},<a>=∩I∈∑I\sum=\{I\triangleleft R|a\in I\},<a>=\cap_{I\in \sum}I∑={I◃R∣a∈I},<a>=∩I∈∑I。
- ∑非空\sum非空∑非空：a∈R,R◃R,→R∈∑a\in R,R\triangleleft R,\rightarrow R\in \suma∈R,R◃R,→R∈∑；
- <a><a><a>是一个理想：（有限或无限）多个理想的交还是RRR的理想。
  证明：RRR为环，I、JI、JI、J都是RRR的理想，则III与JJJ的和与交都是RRR的理想。∀a、b∈I∩J,x∈R,\forall a、b\in I\cap J,x\in R,∀a、b∈I∩J,x∈R,要证a−b,ax,xa∈I∩Ja-b,ax,xa\in I\cap Ja−b,ax,xa∈I∩J。
  因为a,b∈I,x∈R,I◃R,a−b,ax,xa∈I;a,b\in I,x\in R,I\triangleleft R,a-b,ax,xa\in I;a,b∈I,x∈R,I◃R,a−b,ax,xa∈I;同理，a−b,ax,xa∈Ja-b,ax,xa\in Ja−b,ax,xa∈J，所以a−b,ax,xa∈I∩Ja-b,ax,xa\in I\cap Ja−b,ax,xa∈I∩J
a∈I→a∈<a>→<a>∈∑a\in I\rightarrow a\in <a>\rightarrow <a>\in \suma∈I→a∈<a>→<a>∈∑，<a><a><a>是包含aaa的理想；<a><a><a>是所有包含aaa的理想的交，<a><a><a>是RRR中包含aaa的最小理想。
主理想的组成：在不同环R中，a∈R,<a>a\in R,<a>a∈R,<a>的表示形式。
- RRR是环，<a>={∑i=1nxiayi+xa+ay+ma∣xi,yi,x,y∈R,n∈N,m∈Z}<a>=\{\sum_{i=1}^nx_iay_i+xa+ay+ma|x_i,y_i,x,y\in R,n\in N,m\in Z\}<a>={∑i=1nxiayi+xa+ay+ma∣xi,yi,x,y∈R,n∈N,m∈Z}
  - 令I={∑i=1nxiayi+xa+ay+ma∣xi,yi,x,y∈R,n∈N,m∈Z}I=\{\sum_{i=1}^nx_iay_i+xa+ay+ma|x_i,y_i,x,y\in R,n\in N,m\in Z\}I={∑i=1nxiayi+xa+ay+ma∣xi,yi,x,y∈R,n∈N,m∈Z},证明III为理想：减法封闭+乘法封闭
    
    所以III是RRR的理想，又因为a=a∗1,1∈I,→a∈Ia=a*1,1\in I,\rightarrow a\in Ia=a∗1,1∈I,→a∈I，即III是一个包含aaa的理想，又因为<a><a><a>是包含aaa的最小理想，所以<a>⊆I<a>\subseteq I<a>⊆I；因为<a><a><a>是包含aaa的理想，所以<a><a><a>必定包含形如xay,xa,ay,maxay,xa,ay,maxay,xa,ay,ma这些元素以及这些元素的和，所以I⊆<a>I\subseteq<a>I⊆<a>；故I=<a>I=<a>I=<a>
    - 减法封闭：
      - ∀d,e∈I,d−e=(∑is=1n1xisayis+x1a+ay1+m1a)−(∑ir=1n2xirayir+x2a+ay2+m2a)=∑i=1n1+n2xiayi+(x1−x2)a+a(y1−y2)+(m1−m2)a,\forall d,e\in I,d-e\\=(\sum_{is=1}^{n_1}x_{is}ay_{is}+x_1a+ay_1+m_1a)-(\sum_{ir=1}^{n_2}x_{ir}ay_{ir}+x_2a+ay_2+m_2a)\\=\sum_{i=1}^{n_1+n_2}x_iay_i+(x_1-x_2)a+a(y_1-y_2)+(m_1-m_2)a,∀d,e∈I,d−e=(∑is=1n1xisayis+x1a+ay1+m1a)−(∑ir=1n2xirayir+x2a+ay2+m2a)=∑i=1n1+n2xiayi+(x1−x2)a+a(y1−y2)+(m1−m2)a,
      - 其中，因为不是交换环，∑is=1n1xisayis+∑ir=1n2xirayir\sum_{is=1}^{n_1}x_{is}ay_{is}+\sum_{ir=1}^{n_2}x_{ir}ay_{ir}∑is=1n1xisayis+∑ir=1n2xirayir可以写成∑i=1nixiayi\sum_{i=1}^{n_i}x_iay_i∑i=1nixiayi的形式，但是xisayis+xirayirx_{is}ay_{is}+x_{ir}ay_{ir}xisayis+xirayir不能写成xiayix_{i}ay_{i}xiayi的形式。所以要写成∑is=1n1xisayis\sum_{is=1}^{n_1}x_{is}ay_{is}∑is=1n1xisayis的形式。
      - x,y∈R,a∈I,m∈Z→x1−x2=xi,y1−y2=yi,m1−m2=mi→xia∈xa∈I,ayi∈ay∈I,mia∈ma∈Ix,y\in R,a\in I,m\in Z\\\rightarrow x_1-x_2=x_i,y_1-y_2=y_i,m_1-m_2=m_i\\\rightarrow x_ia\in xa\in I,ay_i\in ay\in I,m_ia\in ma\in Ix,y∈R,a∈I,m∈Z→x1−x2=xi,y1−y2=yi,m1−m2=mi→xia∈xa∈I,ayi∈ay∈I,mia∈ma∈I
      - ∑i=1n1+n2xiayi∈∑i=1nxiayi∈I\sum_{i=1}^{n_1+n_2}x_iay_i\in \sum_{i=1}^nx_iay_i\in I∑i=1n1+n2xiayi∈∑i=1nxiayi∈I
      - ∑i=1n1+n2xiayi+(x1−x2)a+a(y1−y2)+(m1−m2)a∈I→d−e∈I\sum_{i=1}^{n_1+n_2}x_iay_i+(x_1-x_2)a+a(y_1-y_2)+(m_1-m_2)a\in I\\\rightarrow d-e\in I∑i=1n1+n2xiayi+(x1−x2)a+a(y1−y2)+(m1−m2)a∈I→d−e∈I
    - 乘法封闭：同理，易得。
- RRR是有单位元的环，<a>={∑i=1nxiayi∣xi,yi∈R,n∈N}<a>=\{\sum_{i=1}^nx_iay_i|x_i,y_i\in R,n\in N\}<a>={∑i=1nxiayi∣xi,yi∈R,n∈N}
  
  ma=(me)ae(m∈Z),xa=xae,ay=eay,→ma,xa,ayma=(me)ae(m\in Z),xa=xae,ay=eay,\\\rightarrow ma,xa,ayma=(me)ae(m∈Z),xa=xae,ay=eay,→ma,xa,ay都是形如xayxayxay的元素→<a>={∑i=1nxiayi∣xi,yi∈R,n∈N}\\\rightarrow <a>=\{\sum_{i=1}^nx_iay_i|x_i,y_i\in R,n\in N\}→<a>={∑i=1nxiayi∣xi,yi∈R,n∈N}
- RRR是交换环，<a>={xa+ma∣x∈R,m∈Z}<a>=\{xa+ma|x\in R,m\in Z\}<a>={xa+ma∣x∈R,m∈Z}
  
  xay=xya,ay=ya→xay,ayxay=xya,ay=ya\\\rightarrow xay,ayxay=xya,ay=ya→xay,ay都是形如xaxaxa的元素→<a>={xa+ma∣x∈R,m∈Z}\\\rightarrow <a>=\{xa+ma|x\in R,m\in Z\}→<a>={xa+ma∣x∈R,m∈Z}
- RRR是有单位元的交换环，<a>=aR={ar∣r∈R}<a>=aR=\{ar|r\in R\}<a>=aR={ar∣r∈R}
  
  ma=(me)ae→mama=(me)ae\\\rightarrow mama=(me)ae→ma是形如xaxaxa的元素→<a>={xa∣x∈R}={ax∣x∈R}=aR\\\rightarrow <a>=\{xa|x\in R\}=\{ax|x\in R\}=aR→<a>={xa∣x∈R}={ax∣x∈R}=aR
主理想例子：有单位元的交换环：Z、ZmZ、Z_mZ、Zm，

ZZZ的理想是dZ,d∈ZdZ,d\in ZdZ,d∈Z,
ZmZ_mZm的理想是dZm,d∈Zm,dZ_m,d\in Z_m,dZm,d∈Zm,
可以看出Z、ZmZ、Z_mZ、Zm的理想都是主理想。

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