081200计算机科学与技术——301数学，知识点整理【更新中】
2024-05-24 05:39:25
文章目录
- 函数
- 函数的有界性
- 函数的单调性
- 函数的奇偶性
- 函数的周期性
- 取整函数
- 反函数
- 复合函数
- 基本初等函数
- 初等函数
- 数列的定义
- 数列极限
- 收敛数列的性质
- 函数极限
- 函数极限的性质
- 更新中 p7_1/3
函数
- 定义
如果对于每个数 x ∈ D x \in D x∈D，变量按照一定的法则总有一个确定的 y y y 和它对应，则称 x x x 是 y y y 的函数，记为 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)，其中：- x x x 为自变量， D D D 是定义域，是 x x x 的取值范围，记作 D f D_f Df 或 D D D
- y y y 为因变量， f ( D ) f(D) f(D) 是值域，是 y y y 的取值范围，记作 R f R_f Rf 或 f ( D ) f(D) f(D)
- 推理
- x x x 对应的 y y y 只能有一个， y y y 对应的 x x x 可以有多个
- 函数有三个要素（定义域、值域、对应法则），其中最关键的是定义域和对应法则，因为定义域和对应法则确定后，值域就确定了，定义域和对应法则决定了值域
函数的有界性
- 定义
设 X ⊂ D : X \subset D: X⊂D:- 若函数有上界，则
∀ x ∈ X , f ( x ) ⩽ M \forall x \in X,f(x) \leqslant M ∀x∈X,f(x)⩽M - 若函数有下界，则
∀ x ∈ X , f ( x ) ⩾ M \forall x \in X,f(x) \geqslant M ∀x∈X,f(x)⩾M - 若函数有界（既有上界又有下界 ），则
∀ x ∈ X , ∣ f ( x ) ∣ ⩽ M \forall x \in X,|f(x)| \leqslant M ∀x∈X,∣f(x)∣⩽M
即： − M ⩽ f ( x ) ⩽ M -M \leqslant f(x) \leqslant M −M⩽f(x)⩽M - 若函数无界，则
∀ M > 0 , ∃ x 0 ∈ X , 使 ∣ f ( x 0 ) ∣ > M \forall M > 0, \exists x_0 \in X, 使 |f(x_0)|>M ∀M>0,∃x0∈X,使∣f(x0)∣>M
- 若函数有上界，则
函数的单调性
- 定义
设区间 I ⊂ D : I \subset D: I⊂D:- 若函数单调增，则：
∀ x 1 , x 2 ∈ I , 当 x 1 < x 2 时，恒有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ) \forall x_1,x_2 \in I,当 x_1 < x_2 时，恒有 f(x_1)<f(x_2) ∀x1,x2∈I,当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2) - 若函数单调减，则：
∀ x 1 , x 2 ∈ I , 当 x 1 < x 2 时，恒有 f ( x 1 ) > f ( x 2 ) \forall x_1,x_2 \in I,当 x_1 < x_2 时，恒有 f(x_1)>f(x_2) ∀x1,x2∈I,当x1<x2时，恒有f(x1)>f(x2)
- 若函数单调增，则：
函数的奇偶性
定义：
设 D D D 关于原点对称：- 若函数为偶函数，则：
∀ x ∈ D , f ( − x ) = f ( x ) \forall x \in D,f(-x)=f(x) ∀x∈D,f(−x)=f(x) - 若函数为奇函数，则：
∀ x ∈ D , f ( − x ) = − f ( x ) \forall x \in D, f(-x)=-f(x) ∀x∈D,f(−x)=−f(x)
- 若函数为偶函数，则：
推理：
- 偶函数图形关于 y y y轴对称
- 奇函数图形关于 x x x轴对称，且若 f ( x ) 在 x = 0 f(x) 在 x=0 f(x)在x=0 处有定义，则 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f(0)=0
函数的周期性
- 定义：
若存在实数 T > 0 T>0 T>0，对于任意 x x x，恒有 f ( x + T ) = f ( x ) f(x+T)=f(x) f(x+T)=f(x) 则称 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 为周期函数，使得上式成立的最小正数 T T T 称为最小正周期，简称为函数 f ( x ) f(x) f(x) 的周期 - 推理：周期函数不一定都有最小正周期，比如 y = C y=C y=C （ C C C是任意常数）
取整函数
定义
y = [ x ] y=[x] y=[x]举例：
[ 3.2 ] = 3 [3.2]=3 [3.2]=3
[ − 3.2 ] = − 4 [-3.2]=-4 [−3.2]=−4推理：
x − 1 < [ x ] ⩽ x x-1 < [x] \leqslant x x−1<[x]⩽x
反函数
- 定义
设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 的定义域为 D D D，值域为 R y R_y Ry，若对任意 y ∈ R y y \in R_y y∈Ry，有唯一确定的 x ∈ D x \in D x∈D，使得 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)，则记为 x = f − 1 ( y ) x=f^{-1}(y) x=f−1(y) 称其未函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 的反函数。 - 通俗解释
y y y 与 x x x 的映射必须一一对应 - 推理
- x 1 ≠ x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) x_1 \not = x_2 \Rightarrow f(x_1) \not = f(x_2) x1=x2⇒f(x1)=f(x2)
- 函数与反函数图像关于 y = x y=x y=x 对称
- 求一个函数的反函数方法（例如求 y = x 3 y=x^3 y=x3 的反函数）
- 反求一个函数： y = x 3 ⇒ x = y 1 3 y=x^3 \Rightarrow x=y^{\frac{1}{3}} y=x3⇒x=y31
- 将自变量与因变量对调： x = y 1 3 x=y^{\frac{1}{3}} x=y31 变成 y = x 1 3 y=x^{\frac{1}{3}} y=x31
复合函数
- 定义
设 y = f ( u ) y=f(u) y=f(u) 的定义域为 D f D_f Df， u = g ( x ) u=g(x) u=g(x) 的定义域为 D g D_g Dg 值域为 R g R_g Rg，若 D f ∩ R g ≠ ∅ D_f \cap R_g \not = \varnothing Df∩Rg=∅，则称函数 y = f [ g ( x ) ] y=f[g(x)] y=f[g(x)] 为函数 y = f ( u ) y=f(u) y=f(u) 与 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x) 的复合函数 - 通俗解释
内层函数的值域 与 外层函数的定义域 必须有交集 - 推理：
- 复合后的定义域为 { x ∣ x ∈ D g , g ( x ) ∈ D f } \set{ x|x \in D_g, g(x) \in D_f } {x∣x∈Dg,g(x)∈Df}，即 x x x 属于内层函数定义域 D g D_g Dg 且内层函数的值域 g ( x ) g(x) g(x) 属于外层函数的定义域 D f D_f Df
- 复合后的定义域 最大为内层函数 g ( x ) g(x) g(x) 的定义域
- f ( x ) = g ( x ) + g ( − x ) f(x) = g(x)+g(-x) f(x)=g(x)+g(−x) 是偶函数（将 x x x 带入 − x -x −x 得到的结果 = = = 原函数，说明函数关于 y y y 轴对称，是偶函数）
- f ( x ) = g ( x ) − g ( − x ) f(x) = g(x)-g(-x) f(x)=g(x)−g(−x) 是奇函数（将 x x x 带入 − x -x −x 得到的结果 = − =- =− 原函数，说明函数关于原点轴对称，是奇函数）
基本初等函数
- 幂函数： y = x a , ( a 为实数 ) y=x^a,(a为实数) y=xa,(a为实数)
- 指数函数： y = a x , ( a > 0 , a ≠ 1 ) y=a^x,(a>0, a \not=1) y=ax,(a>0,a=1)
- 对数函数： y = l o g a x , ( a > 0 , a ≠ 1 ) y=log_a^x,(a>0,a \not=1) y=logax,(a>0,a=1)
- 三角函数： y = s i n x y=sinx y=sinx ; y = c o s x y=cosx y=cosx ; y = t a n x y=tanx y=tanx ; y = c o t x y=cotx y=cotx
- 反三角函数： y = a r c s i n x y=arcsinx y=arcsinx ; y = a r c c o s x y=arccosx y=arccosx ; y = a r c t a n x y=arctanx y=arctanx
初等函数
- 定义
- 由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到的函数
- 能用一个解析式表示的函数
数列的定义
数列就是一串有序的实数，是一种特殊的函数（整标函数），其自变量取正整数
数列极限
- 定义
∀ ε > 0 , ∃ N , 当 n > N 时 , 有 ∣ x n − a ∣ < ε \forall \varepsilon > 0, \exists N,当 n>N时, 有|x_n-a|<\varepsilon ∀ε>0,∃N,当n>N时,有∣xn−a∣<ε
其中 ∣ x n − a ∣ < ε |x_n-a|<\varepsilon ∣xn−a∣<ε
等于 x n ∈ U ( a , ε ) x_n \in U(a,\varepsilon) xn∈U(a,ε)
等于 x n x_n xn 属于 a a a 点的去心邻域 - 通俗解释
设数列有极限且极限为 a a a，则对于任意一个大于0的值 ε \varepsilon ε，都存在一个对应的项数，使这个项数之后的数列值 x n x_n xn 永远在 ( a − ε , a + ε ) (a-\varepsilon,a+\varepsilon) (a−ε,a+ε) 之间 - 应用
用于证明数列 x n x_n xn 是否以 a a a 为极限，利用 ∣ x n − a ∣ < ε |x_n-a|<\varepsilon ∣xn−a∣<ε 找出 n n n 的最大值 N N N， N N N 存在说明 x n x_n xn 以 a a a 为极限，否则不以 a a a 为极限
收敛数列的性质
- 唯一性：收敛数列的极限是唯一的
- 有界性：收敛数列必有界，有界数列不一定收敛（无界数列一定发散，发散数列不一定无界）
- 保号性：
- 从极限值保数列项的值（不包含0）
若 lim n ⇀ ∞ x n = a ，且 a > 0 ( 或 a < 0 ) ，则 ∃ N , 当 n > N 时，都有 x n > 0 ( 或 x n < 0 ) 若 \lim\limits_{n \rightharpoonup \infin}x_n=a，且 a>0(或a<0)，则 \exists N, 当 n>N时，都有x_n>0(或x_n<0) 若n⇀∞limxn=a，且a>0(或a<0)，则∃N,当n>N时，都有xn>0(或xn<0)
通俗解释：当函数极限为正（负）时，一定存在某一项数，使该项之后的数列值都为正（负） - 从数列项的值保极限值（包含0）
如果存在 N > 0 , 当 n > N 时， x n ⩾ 0 ( 或 x n ⩽ 0 ) , 则 a ⩾ 0 ( 或 a ⩽ 0 ) 如果存在 N>0,当n>N时，x_n \geqslant 0(或 x_n \leqslant 0),则 a \geqslant 0(或 a \leqslant 0) 如果存在N>0,当n>N时，xn⩾0(或xn⩽0),则a⩾0(或a⩽0)
通俗解释：当某项之后的数列全都为非负（非正）时，极限也为非负（非正）
- 从极限值保数列项的值（不包含0）
- 收敛数列与其子列之间的关系
以 x n x_n xn 的子列 x 2 k − 1 x_{2k-1} x2k−1 和 x 2 k x_{2k} x2k 为例：
可以推出： lim n ⇀ ∞ x n = a ⇔ lim n ⇀ ∞ x 2 k − 1 = lim n ⇀ ∞ x 2 k = a \lim\limits_{n \rightharpoonup \infin}x_n=a \Harr \lim\limits_{n \rightharpoonup \infin}x_{2k-1}=\lim\limits_{n \rightharpoonup \infin}x_{2k}=a n⇀∞limxn=a⇔n⇀∞limx2k−1=n⇀∞limx2k=a
通俗解释：数列极限为 a a a 时可以推出其每个子列极限都为 a a a，数列的每个子列极限都 相等且为 a a a 时可以推出数列的极限为 a a a
函数极限
- 自变量趋向有限值时函数的极限
- 极限（ x x x 从左、右两边的任意一边逼近 x 0 x_0 x0）
lim x ⇀ x 0 f ( x ) = A \lim\limits_{x \rightharpoonup x_0}f(x)=A x⇀x0limf(x)=A
∀ ε > 0 ， ∃ θ > 0 \forall \varepsilon>0，\exists \theta>0 ∀ε>0，∃θ>0， 当 0 < ∣ x − x 0 ∣ < θ 0<|x-x_0|<\theta 0<∣x−x0∣<θ 时，恒有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A|<\varepsilon ∣f(x)−A∣<ε - 左极限（ x x x 从左边逼近 x 0 x_0 x0）
lim x ⇀ x 0 f ( x ) = f ( x 0 − ) = f ( x 0 − 0 ) \lim\limits_{x \rightharpoonup x_0}f(x)=f(x_0^-)=f(x_0-0) x⇀x0limf(x)=f(x0−)=f(x0−0)
∀ ε > 0 ， ∃ θ > 0 \forall \varepsilon>0，\exists \theta>0 ∀ε>0，∃θ>0 ，当 0 < x 0 − x < θ 0<x_0-x<\theta 0<x0−x<θ 时，恒有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A|<\varepsilon ∣f(x)−A∣<ε - 右极限（ x x x 从右边逼近 x 0 x_0 x0）
lim x ⇀ x 0 f ( x ) = f ( x 0 + ) = f ( x 0 + 0 ) \lim\limits_{x \rightharpoonup x_0}f(x)=f(x_0^+)=f(x_0+0) x⇀x0limf(x)=f(x0+)=f(x0+0)
∀ ε > 0 ， ∃ θ > 0 \forall \varepsilon>0，\exists \theta>0 ∀ε>0，∃θ>0， 当 0 < x − x 0 < θ 0<x-x_0<\theta 0<x−x0<θ 时，恒有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A|<\varepsilon ∣f(x)−A∣<ε - 函数极限与其左、右极限之间的关系
lim x ⇀ x 0 f ( x ) = A ⇔ lim x ⇀ x 0 + f ( x ) = lim x ⇀ x 0 − f ( x ) = A \lim\limits_{x \rightharpoonup x_0}f(x)=A \Harr \lim\limits_{x \rightharpoonup x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x \rightharpoonup x_0^-}f(x)=A x⇀x0limf(x)=A⇔x⇀x0+limf(x)=x⇀x0−limf(x)=A
通俗解释：函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x x x趋向 x 0 x_0 x0时极限为 A A A，可以推出 函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x x x趋向 x 0 x_0 x0时其左、右极限相等且都为A，反之，函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x x x趋向 x 0 x_0 x0时左、右极限相等且都为 A A A，可以推出 函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x x x趋向 x 0 x_0 x0时极限为 A A A
- 极限（ x x x 从左、右两边的任意一边逼近 x 0 x_0 x0）
- 自变量趋于无穷大时函数的极限
- 趋于无穷时
lim x ⇀ ∞ f ( x ) = A \lim\limits_{x \rightharpoonup \infin}f(x)=A x⇀∞limf(x)=A
∀ ε > 0 ， ∃ X > 0 \forall \varepsilon>0，\exists X>0 ∀ε>0，∃X>0，当 ∣ x ∣ > X |x|>X ∣x∣>X 时，恒有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A|<\varepsilon ∣f(x)−A∣<ε - 趋于正无穷时
lim x ⇀ + ∞ f ( x ) = A \lim\limits_{x \rightharpoonup +\infin}f(x)=A x⇀+∞limf(x)=A
∀ ε > 0 ， ∃ X > 0 \forall \varepsilon>0，\exists X>0 ∀ε>0，∃X>0，当 x > X x>X x>X 时，恒有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A|<\varepsilon ∣f(x)−A∣<ε - 趋于负无穷时
lim x ⇀ − ∞ f ( x ) = A \lim\limits_{x \rightharpoonup -\infin}f(x)=A x⇀−∞limf(x)=A
∀ ε > 0 ， ∃ X > 0 \forall \varepsilon>0，\exists X>0 ∀ε>0，∃X>0，当 x < − X x<-X x<−X 时，恒有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A|<\varepsilon ∣f(x)−A∣<ε - 趋于无穷时与趋于正、负无穷之间的关系
lim x ⇀ ∞ f ( x ) = A ⇔ lim x ⇀ + ∞ f ( x ) = lim x ⇀ − ∞ f ( x ) = A \lim\limits_{x \rightharpoonup \infin}f(x)=A \Harr \lim\limits_{x \rightharpoonup +\infin}f(x)=\lim\limits_{x \rightharpoonup -\infin}f(x)=A x⇀∞limf(x)=A⇔x⇀+∞limf(x)=x⇀−∞limf(x)=A
通俗解释：函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x x x 趋向无穷时极限为 A A A ，可以推出函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x x x 趋向正、负无穷时极限相等且为 A A A，反之，函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x x x 趋向正、负无穷时极限相等且为 A A A，可以推出函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x x x 趋向无穷时极限为 A A A
- 趋于无穷时
函数极限的性质
- 唯一性：
如果一个函数在某一点 x 0 x_0 x0 有极限，那么在 lim x ⇀ x 0 f ( x ) \lim\limits_{x \rightharpoonup x_0}f(x) x⇀x0limf(x) 时极限唯一 - 局部有界性
函数在某一点 x 0 x_0 x0 有极限，就可以推出函数 f ( x ) f(x) f(x) 在关于 x 0 x_0 x0 点的去心领域局部有界，反之不行
更新中 p7_1/3
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