飞行机的精确定位问题

问题描述：飞机在飞行过程中，能够收到地面上各个监控台发来的关于飞机当前位置的信息，根据这些信息可以比较精确地确定飞机的位置。如图3所示，VOR 是高频多向导航设备的英文缩写，它能够得到飞机与该设备连线的角度信息；DME 是距离测量装置的英文缩写，它能够得到飞机与该设备的举例信息。图中飞机接收到来自 3 个 VOR 给出的角度和 1 个 DME 给出的距离（括号内是测量误差限），并已知这 4 种设备的 x, y 坐标（假设飞机和这些设备在同一平面上）。如何根据这些信息精确地确定当前飞机的位置？

（1）问题分析

记 4 种设备 VOR1、VOR2、VOR3、DME 的坐标为 $(x_{i},y_{i})$ （以 km 为单位），i=1,2,3,4 ；VOR1、VOR2、VOR3 测量得到的角度为 $\theta_{i}$ （从图中可以看出，按照航空飞行管理的惯例，该角度是从北开始，沿顺时针方向的角度，取值在 $0^{\circ}\sim 360^{\circ}$ 之间），角度的误差限为 $\sigma _{i} ,\: i=1,2,3$ ；DME 测量得到的距离为 $d_{4}$ （单位：km），距离的误差限为 4 σ。设飞机当前位置的坐标为 $\left ( x,y \right )$ ，则问题就是在表 9 的已知数据下计算 $\left ( x,y \right )$ 。

（2）模型 1 及求解

图中角度 $\theta_{i}$ 是点 $(x_{i},y_{i})$ 和点 $\left ( x,y \right )$ 的连线与 y 轴的夹角（以 y 轴正向为基准，顺时针方向夹角为正，而不考虑逆时针方向的夹角），于是角度 $\theta_{i}$ 的正切 $\textup{tan} \left ( \theta _{i} \right )=\frac{x-x_{i}}{y-y_{i}}\: ,\: i=1,2,3$ ( 1 )

对 DME 测量得到的距离，显然有 $d_{4}=\sqrt{\left ( x-x_{4} \right )^{2}+\left ( y-y_{4} \right )^{2}}$ ( 2 )

直接利用上面得到的 4 个等式确定飞机的坐标 y x, ，这是一个求解超定（非线性）方程组的问题，在最小二乘准则下使计算值与测量值的误差平方和最小（越接近 0 越好），则需要求解

( 3 )
式（3）是一个非线性（无约束）最小二乘拟合问题。很容易写出其 LINGO 程序如下：

MODEL:
TITLE 飞机定位模型1;
SETS:
VOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma;
ENDSETS
DATA:
x0, y0, cita, sigma =
746  1393 161.2   0.8
629  375 45.1     0.6
1571 259 309.0    1.3;
x4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0;
ENDDATA
calc:
@for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180);
endcalc
min=@sum(VOR:@sqr((x-x0)/(y-y0)-@tan(cita)))+@sqr(d4-@sqrt(@sqr(x -x4)+@sqr(y-y4)));
END

上述程序必须使用全局求解器进行求解，否则求得的是一个局部最优解。用 “LINGO|OPTIONS”菜单命令启动“Global Solver”选项卡上的“Use Global Solver”选项，然后求解，可以得到全局最优解 x=1019.306 ，y= 987.2909 ，对应的目标函
数值为 0.4729562，这里的解受π 的取值影响很大。

（3）模型 2 及求解

注意到这个问题中角度和距离的单位是不一致的（角度为弧度，距离为公里），因此将这 4 个误差平方和同等对待（相加）不是很合适。并且，4 种设备测量的精度（误差限）不同，而上面的方法根本没有考虑测量误差问题。如何利用测量设备的精度信息？ 这就需要看对例中给出的设备精度如何理解。一种可能的理解是：设备的测量误差是均匀分布的。以 VOR1 为例，目前测得的角度为 $161.2^{\circ}$ ，测量精度为 $0.8^{\circ}$ ，所以实际的角度应该位于区间 $[\, 161.2^{\circ}-0.8^{\circ},\: 161.2^{\circ}+0.8^{\circ}\, ]$ 内。对其它设备也可以类似理解。由于 $\sigma _{i}$ 很少，即测量精度很高，所以在相应区间内正切函数 tan 的单调性成立。于是可以得到一组不等式：

也就是说，飞机坐标应该位于上述不等式组成的区域内。由于这里假设设备的测量误差是均匀分布的，所以飞机坐标在这个区域内的每个点上的可能性应该也是一样的，我们最好应该给出这个区域的 x和 y 坐标的最大值和最小值。于是我们可以分别以 min x ， max x ， min y， max y为目标，以上面的区域限制条件为约束，求出x 和 y 坐标的最大值和最小值。
以 min x 为例，相应的 LINGO 程序为：

MODEL:
TITLE 飞机定位模型2;
SETS: VOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma;
ENDSETS
INIT:
x=1000; y=900;
ENDINIT
DATA:
x0, y0, cita, sigma =
746  1393 161.2   0.8
629  375 45.1     0.6
1571 259 309.0    1.3;
x4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0;
ENDDATA
calc:
@for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180);
endcalc
min=x;
@for(VOR:(x-x0)/(y-y0)>@tan(cita-sigma));
@for(VOR:(x-x0)/(y-y0)<@tan(cita+sigma));
d4-sigma4 <((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 ;
d4+sigma4 >((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 ;
END

注意：用 LINGO9 求解非线性问题，必须对决策变量进行初始化，否则 LINGO 可能找不到可行解。决策变量的初值也有范围限制，取的不合适也可能找不到可行解。求得的 x的最小值为 974. 8433。类似地（只需要换目标函数就可以了），可得到 x的最大值为 982.2005， y 的最小值为 717.1614， y 的最大值为 733.1582。因此，最后得到的解是一个比较大的矩形区域，大致为 $[975,982 ]\times [717,733]$ .

（4）模型 3 及求解

模型 2 得到的只是一个很大的矩形区域，仍不能令人满意。实际上，模型 2 假设设备的测量误差是均匀分布的，这是很不合理的。一般来说，在多次测量中，应该假设设备的测量误差是正态分布的，而且均值为 0。本例中给出的精度 $\sigma _{i}$ 可以认为是测量
误差的标准差。

在这种理解下，用各自的误差限 $\sigma _{i}$ 对测量误差进行无量纲化（也可以看成是一种加权法）处理是合理的，即求解如下的无约束优化问题更合理。

由于目标函数是平方和的形式，因此这是一个非线性最小二乘拟合问题。相应的 LINGO 程序为：

MODEL:
TITLE 飞机定位模型3;
SETS:
VOR/1..3/:x0,y0,cita,sigma,alpha;
ENDSETS
INIT:
x=1000; y=900;
ENDINIT
DATA:
x0, y0, cita, sigma =
746  1393 161.2   0.8
629  375 45.1     0.6
1571 259 309.0    1.3;
x4 y4 d4 sigma4=155,987,864.3,2.0;
ENDDATA
calc:
@for(VOR:cita=cita*3.14159/180;sigma=sigma*3.14159/180);
endcalc
min=@sum(VOR:((alpha-cita)/sigma)^2)+((d4-((x-x4)^2+(y-y4)^2)^.5 )/ sigma4 )^2;
@for(VOR: @tan(alpha)=(x-x0)/(y-y0) );
END

启动 LINGO 的全局最优求解程序求解，得到全局最优解 x=978.3071，y= 723.9841，对应的目标函数的值为 0.668035。这里得到的误差比模型 1 的大，这是因为模型 1 中使用的是绝对误差，而这里使用的是相对于精度 $\sigma _{i}$ 的误差。对角度而言，分母 $\sigma _{i}$ 很少，所以相对误差比绝对误差大，这是可以理解的。

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