Doolittle分解法（LU分解法）的Python实现

在解一般的非奇异矩阵线性方程组的时候，或者在迭代改善算法中，需要使用LU分解法。
对于一个一般的非奇异矩阵A=(a11, a12,…,a1n,a21,…ann)，可分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U。其中L的主对角线元素都是1.
希望得到一个M，最后在需要的时候将M拆分为L和U

M=[[u11 u12 u13 ...... u1nl21 u22 u23 ...... u2nl31 l32 u33 ...... u3n......                 ]]
L=[[1   0   0......l21 1   0......l31 l32 1............         ]]
U=[[u11 u12 u13......0   u22 u23......0   0   u33............         ]]

doolittle分解法分两步进行
首先，根据已知A直接做出一个基矩阵M，其中，矩阵的第一行就是A的第一行，矩阵的第一列为A的第一列除以矩阵M的第一列的第一个元。即
u1j=a1j j=1,2,…,n
li1=ai1/u11, i=1,2,…,n
接着，从第二行开始，从第二列到最后一列一次求解M的元素，列数大于等于行数则属于U，否则属于L，有公式
ukj=akj-sum(lkmumj)(m∈(1, k-1)), j=1,2,…,n
lik=(aik-sum(limumk)(m∈(1, k-1)))/ukk, i=1,2,…,n
可以发现lik与ukj公式的区别只有lik多除以了一个ukk即这一列的对角线元
下面给出一个例子

A=[[1  2  -32  -1  33  -2  2]]

将A进行doolittle分解

代码如下

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Tue Feb 12 11:27:19 2019@author: 鹰皇
"""#Doolittle分解法
import numpy as np
A=[[1.0,2.0,-3.0],[2.0,-1.0,3.0],[3.0,-2.0,2.0]]def get_base(A):base=list(np.zeros((len(A),len(A))))D=[]for i in base:D.append(list(i))return Ddef U_initiate(A):u=get_base(A)for i in range(0,len(A)):u[0][i]=A[0][i]return udef L_initiate(A, u):l=get_base(A)for i in range(0,len(A)):l[i][i]=1.0if i==0:passelse:l[i][0]=A[i][0]/u[0][0]return ldef get_u(A,L,U,k,j):sum1=0.0for m in range(0,k):sum1=sum1+L[k][m]*U[m][j]U[k][j]=A[k][j]-sum1return Udef get_l(A,L,U,i,k):sum1=0.0for m in range(0,k):sum1=sum1+L[i][m]*U[m][k]L[i][k]=(A[i][k]-sum1)/U[k][k]return Ldef main(A):U=U_initiate(A)L=L_initiate(A,U)n=1while n<len(A):t=1while t<len(A):if t>=n:U=get_u(A,L,U,n,t)else:L=get_l(A,L,U,n,t)t=t+1print tn=n+1return U,Lprint main(A)

算得L，U，解答完毕

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