计算机数值方法——LU分解法（C++\Python代码实现）

算法流程

首先，LU分解法就是在高斯消元法的基础上，把矩阵AAA分解为一个上三角矩阵UUU与一个单位下三角矩阵LLL的乘积。

懒得敲LaTeX公式了，书上由具体的推导过程，这里我们重点介绍代码吧

主要就是在高斯消元的过程中标记单位下三角矩阵LLL，算法复杂度O(N3)O(N^3)O(N3),没有变化。

C++代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
#define int long long
const int N = 1e2 + 10;
int a[N][N], b[N][N];
int n;
void LU_Factorization()
{for (int i = 0; i < n; i++)b[i][i] = 1;for (int k = 0; k < n; k++)for (int i = k + 1; i < n; i++){double t = a[i][k] / a[k][k];b[i][k] = t;for (int j = 0; j < n; j++){a[i][j] -= a[k][j] * t;}}printf("L矩阵为：\n");for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n; j++)printf("%d ", b[i][j]);puts("");}printf("U矩阵为：\n");for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n; j++)printf("%d ", a[i][j]);puts("");}
}
signed main()
{cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++)for (int j = 0; j < n; j++)cin >> a[i][j];LU_Factorization();return 0;
}

python代码

老师同意调库了，，试一下numpy（虽然本质上没改变什么，但是在学习中成长）

# LU分解
import numpy as np
def LU_Factorization(A):n = A.shape[0]L = np.zeros([n, n])U = np.zeros([n, n])for i in range(n):L[i][i] = 1if i == 0:U[0][0] = A[0][0]for j in range(1, n):U[0][j] = A[0][j]L[j][0] = A[j][0] / U[0][0]else:for j in range(i, n):temp = 0for k in range(0, i):temp = temp + L[i][k] * U[k][j]U[i][j] = A[i][j] - tempfor j in range(i + 1, n):temp = 0for k in range(0, i):temp = temp + L[j][k] * U[k][i]L[j][i] = (A[j][i] - temp) / U[i][i]return L, U
def main():A = np.array([[1, 1, 1], [0, 4, -1], [2, -2, -1]])L, U = LU_Factorization(A)print('L矩阵为：\n',L, '\nU矩阵为：\n', U)
main()

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